线性代数 试证：在n维向量空间中，如果α1,α2,……,αn线性无关，则任一个n维向量β可以用它

Question

线性代数

试证：在n维向量空间中，如果α1,α2,……,αn线性无关，则任一个n维向量β可以用它线性表示，且表达式唯一

Answer 1

在n维向量空间中,任意n+1个向量线性相关,所以α1.α2...αn,β线性相关,设：
c1*α1+c2*α2...+cn*αn+c*β=0(其中c1,…cn,c不全为0）
若c=0,则可得α1.α2...αn线性相关,矛盾!所以c不为0,对上式变形即可知道：
β=-(c1/c)*α1-(c2/c)*α2...-(cn/c)*αn
即β可以由α1.α2...αn线性表示