幂函数的定义域有哪些？

Question

如题所述

Answer 1

幂函数是指形如 f(x) = x^n 的函数，其中 x 是自变量，n 是常数指数。

对于幂函数 f(x) = x^n，其定义域取决于指数 n 的值。在实数范围内，幂函数的定义域可以分为两种情况：

1. 当 n 是任意实数时，幂函数的定义域是所有实数，即 x ∈ (-∞, +∞)。

2. 当 n 是有理数时，幂函数的定义域取决于具体的 n 值：
- 当 n 是正奇数时，幂函数的定义域是所有实数，即 x ∈ (-∞, +∞)。
- 当 n 是正偶数时，幂函数的定义域是所有非负实数，即 x ∈ [0, +∞)。
- 当 n 是负奇数时，幂函数的定义域是所有非零实数，即 x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
- 当 n 是负偶数时，幂函数的定义域是所有非零实数，即 x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。

请注意，在计算幂函数的值时，如果 x 超出其定义域范围，可能会导致函数无意义或不连续。因此，在使用幂函数时，需要注意定义域的范围，以确保结果是有效的。