证明：
（a＋b）／2≥√ab
对于1／a和1／b同样成立
（1／a＋1／b）／2≥1／√ab
√ab≥2／（1／a＋1／b）
算数平均：(a+b)/2
几何平均：根号下（ab）
调和平均：2／（1／a＋1／b）
其实就是证明(a+b)/2 + 2/(1/a+1/b) >= 2 * 根号下(ab)
左边化简＝（a＋b）／2＋2ab／（a＋b）令M＝（a＋b）／2，
N=2ab/(a+b)用(M+N)/2 >= 根号下(MN)即可得证。
扩资资料
几何平均数、加权平均数、算术平均数、调和平均数的大小关系：
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
就是 1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)
证明: 1)几何平均数=<算术平均数<-->√(ab)
=<(a+b)/2.......(*) a>0,b>0--->√a-√b
是任意实数 --->(√a-√b)^2>=0 --->a+b-2√(ab)>
=0 --->a+b>
=2√(ab) --->√(ab)
=<(a+b)/2 2)(*)--->a+b>=2√(ab) --->2ab
=<(a+b)√(ab) --->2ab/(a+b)=<√(ab)
--->1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)......(**)
调和平均数
=<几何平均数 3)(a-b)^2>
=0--->a^2+b^2>
=2ab --->a^2+b^2+2ab=<2(a^2+b^2) --->2(a+b)^2=<4(a^2+b^2) --->[(a+b)/2]^2>
=(a^2+b^2)/2 --->(a+b)/2
=<√[(a^2+b^2)/2]......(***)算术平均数
=<平方平均数。
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