一道高中悬赏数学题
X^+XY+Y^/3 =25
Y^/3 +Z^ =9
X^+XZ+Z^=16
若X,Y,Z皆为正数，求2X+Y+Z的值.
X^的意思是X的平方，Y^/3 的意思是(Y的平方）除以3
饿，，已经补充了，Y^/3 的意思是(Y的平方）除以3，硬说有数字的话 可以写成Y^2 表示Y的平方吧
其他的是一样的意思！！！
X^+XY+Y^/3 =25 (1)
Y^/3 +Z^ =9 (2)
X^+XZ+Z^=16 (3)
这个最容易让人想到的是9+16=25
即是直角三角形的三边3,4,5
只需要判断原式能否构成三角形
见下图
△ABC中，AB=3,AC=5,BC=4,AD=√3y/3,CD=x，BC=z
∠ADB=90°，∠ADC=150°，∠BDC=120°
根据余弦定理容易验证，
AB^2=AD^2+BD^2+2ADBDcos∠ADB
BC^2=BD^2+CD^2+2BDCDcos∠BDC
AC^2=AD^2+DC^2+2ADCDcos∠ADC
即是题目所给的三式
由△ABC中可知
S△ABC=1/2AB*BC=6
=S△ABD+S△BDC+S△ADC
=1/2(BD*AD+AD*CD*sin150°+BD*BCsin120°）
=√3/2*（yz/3+xz/2+xy/6)
∴2yz+3xz+xy=24√3 (4)
由3*（1）+（3）+（4）=4x^2+y^2+z^2+4xy+2yz+4xz=(2x+y+z)^2=75+16+24√3=91+24√3
2x+y+z=√(91+24√3))
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第1个回答 2010-08-05
这道蛮难的。
根据3个方程，我用(1)+(2)-(3),得出2X+Y+Z=32/X.
现在求X
我想到了余弦定理。
将三个方程化解为 x^2+(Y/根号3）^2-2*X*(Y/根号3)*cos(5π/6)=5^2
(Y/根号3)^2+Z^2=3^2
X^2+Z^2-2*X*Z*cos(2π/3)=4^2
然后关键了，画图，先画一个边长为3.4.5的RT三角形，要画大一点，然后先在那三角形的外面补充上根据上面3个方程得出的3个三角形，经过观察，那添上去的三个三角形可以得知的角分别为90° 120° 150 °，恰好构成一个周角，所以我把3个三角形往那个RT三角形里一翻，正好得出一个完美的图形：边长3.4.5的RT三角形中存在一点，连接该点与三角形三个顶点，这三条边长度为X,Y/根号3，Z，且构成的三个夹角分别为90°，120°，150°。
接下来就建立直角坐标系，通过正弦定理算出含120°角的三角形的外接圆半径，接着求出该圆的圆方程，然后求出含90°角的三角形圆方程，联立，求出那个一点，然后就可以求出X,Y/根号3，Z了，然后就得出2X+Y+Z的值.本回答被提问者采纳
根据3个方程，我用(1)+(2)-(3),得出2X+Y+Z=32/X.
现在求X
我想到了余弦定理。
将三个方程化解为 x^2+(Y/根号3）^2-2*X*(Y/根号3)*cos(5π/6)=5^2
(Y/根号3)^2+Z^2=3^2
X^2+Z^2-2*X*Z*cos(2π/3)=4^2
然后关键了，画图，先画一个边长为3.4.5的RT三角形，要画大一点，然后先在那三角形的外面补充上根据上面3个方程得出的3个三角形，经过观察，那添上去的三个三角形可以得知的角分别为90° 120° 150 °，恰好构成一个周角，所以我把3个三角形往那个RT三角形里一翻，正好得出一个完美的图形：边长3.4.5的RT三角形中存在一点，连接该点与三角形三个顶点，这三条边长度为X,Y/根号3，Z，且构成的三个夹角分别为90°，120°，150°。
接下来就建立直角坐标系，通过正弦定理算出含120°角的三角形的外接圆半径，接着求出该圆的圆方程，然后求出含90°角的三角形圆方程，联立，求出那个一点，然后就可以求出X,Y/根号3，Z了，然后就得出2X+Y+Z的值.本回答被提问者采纳
第2个回答 2010-08-05
根据X,Y,Z均为正数，由1、3式可以得到两个X的正解（包含Y、Z）又这两个解相等可以得到Y与Z的关系式，又已知2式，可以根据这两个关系式得出Y、Z的值，进而得到X的值，就可以求出2X+Y+Z了，不过计算量相当大啊
第3个回答 2010-08-05
X^+XY+Y^/3 =25 -----------(1)
Y^/3 +Z^ =9 ------------(2)
X^+XZ+Z^=16 ------------(3）
(1)+(2)
2x^2+xy+xz+(y^2/3 +z^2)=41
而：Y^/3 +Z^ =9
所以：2x^2+xy+xz=32 --------(4)
x(2x+y+z)=32
2x+y+z=32/x ----------------(5)
由：X^+XY+Y^/3 =25
x^2+xy+(y^2/4)=25-(y^2/12)
4x^2+4xy+y^2=100-(y^2/3)
而：Y^/3 +Z^ =9
y^2/3=9-z^2
所以：4x^2+4xy+y^2=100-(y^2/3)=91+z^2
(2x+y)^2-z^2=91
(2x+y+z)(2x+y-z)=91 ----------(6)
由(6),(5)
2x+y-z=(91/32)x --------------(7)
由(3),(5)
2x^2+xy+xz=32=2(x^2+xz+z^2)
xy-xz=2z^2
y-z=2z^2/x,带入（7）
2x+2z^2/x=(91/32)x
z^2=(27/64)x^2
z=3(根号3)x/8, 带入（3）
x^2+3(根号3)x^2/8 +(27/64)x^2 =16
x^2=(64*16)/[91+24(根号3)]
x=32/根号[91+24(根号3)], 带入（5）
2x+y+z=32/x=根号[91+24(根号3)]
Y^/3 +Z^ =9 ------------(2)
X^+XZ+Z^=16 ------------(3）
(1)+(2)
2x^2+xy+xz+(y^2/3 +z^2)=41
而：Y^/3 +Z^ =9
所以：2x^2+xy+xz=32 --------(4)
x(2x+y+z)=32
2x+y+z=32/x ----------------(5)
由：X^+XY+Y^/3 =25
x^2+xy+(y^2/4)=25-(y^2/12)
4x^2+4xy+y^2=100-(y^2/3)
而：Y^/3 +Z^ =9
y^2/3=9-z^2
所以：4x^2+4xy+y^2=100-(y^2/3)=91+z^2
(2x+y)^2-z^2=91
(2x+y+z)(2x+y-z)=91 ----------(6)
由(6),(5)
2x+y-z=(91/32)x --------------(7)
由(3),(5)
2x^2+xy+xz=32=2(x^2+xz+z^2)
xy-xz=2z^2
y-z=2z^2/x,带入（7）
2x+2z^2/x=(91/32)x
z^2=(27/64)x^2
z=3(根号3)x/8, 带入（3）
x^2+3(根号3)x^2/8 +(27/64)x^2 =16
x^2=(64*16)/[91+24(根号3)]
x=32/根号[91+24(根号3)], 带入（5）
2x+y+z=32/x=根号[91+24(根号3)]
第4个回答 2010-08-05
你题有毛病 原题为
X^+XY+Y^/3 =25X a
Y^/3 +Z^ =9X b
X^+XZ+Z^=16X c
a式-b式+c式 得
（2X+Y+Z）x=32x
解得 2X+Y+Z=32
X^+XY+Y^/3 =25X a
Y^/3 +Z^ =9X b
X^+XZ+Z^=16X c
a式-b式+c式 得
（2X+Y+Z）x=32x
解得 2X+Y+Z=32
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