求直四面体的有关性质

Question

最好是由直角△类比而来的 并给以适当证明

Answer 1

四面体作为最简单、最基本的几何体，了解它的性质是必要的．与四面体关系密切的多面体是其外接平行六面体(过四面体三组对棱所作的三组平行平面围成的平行六面体)，通过外接平行六面体，可以得出四面体下面的(1)，(2)性质．由反证法等，还可以得到下面的(3)，(4)等性质．
　　(1)四面体各棱长的平方和，等于三组对棱中点连线的平方和的四倍；
　　(2)四面体四中线(连四面体各顶点与其对面重心的线段)交于一点，这点称为四面体的重心，重心分各中线从顶点算起的两部分之比为3∶1．
　　(3)任何一个四面体总有一个端点，从这个端点发出的三条棱为三边可以作成一个三角形；
　　(4)除四面体外，不存在任何一种凸多面体，它的每一个顶点和所有其余的顶点之间都有棱相连接；
　　(5)若四面体四个面的面积相等，则四面体的对棱分别相等(对棱分别相等的四面体称为等腰四面体或等面四面体)；
　　(6)若四面体的外接球球心与内切球球心重合，则四面体的对棱分别相等；
　　(7)若四面体的两组对棱互相垂直(有两组对棱互相垂直的四面体称为重心四面体或正交四面体)，则第三组对棱也互相垂直；
　　(8)若四面体的两组对棱互相垂直，则三组对棱中点连线(段)都相等