第1个回答 2013-11-17
微积分教程 (第一卷),菲赫金哥尔茨
数学分析 (第一卷),卓里奇
随便选一本都有详细的介绍,或者找本 “ 朴素集合论 ” 的书也可以。
任给两个集合 X, Y,
X 到 Y 的一个函数是指: X×Y 上的一个 2 元关系 (或者叫子集) F,使得
对任意的 x∈X,都有且只有一个 y ∈ Y 和 x 有关系 F
记为 x F y 或者 y = F(x)
[注 1] X×Y = {(x,y): x∈X, y∈Y}
[注 2] X×Y 中的任一子集 S 都叫 X 到 Y 的一个关系,如果 (a,b)∈S, 就说 a,b 有关系 S
记为 a S b 或者 b = S(a)
[注 3] 函数只是一种比较特殊的关系而已,满足上面定义中的那个条件。还有很多不是函数的关
系也是很有数学意义的,比如序关系(小学学的数的大小关系就是一种序关系),等价关系
(小学学的等于就是一种等价关系),就连加减乘除都可以用关系来定义 (习题,试着想想)
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例子. 设 X = Y = [0,1], F 定义为:x 和 x^2 有关系,也就是 [0,1]×[0,1] 的子集 {(x,x^2): x∈[0,1]}
显然,对每一个 x ∈[0,1] = X,
x 的平方还在 Y=[0,1] 中,且当 x 确定时, x^2 就确定了
所以,
对 X 中的每个元 x, 都有且仅有 Y 中的元 x^2, 使得 x 和 x^2 有关系 F
于是这样定义的二元关系就是从 X 到 Y 的一个函数,记为 y = x^2
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既然你要通俗定义,我就直接用程序来解释什么是函数
比如你用 C 写了一个程序,在你运行的时候,有时电脑会提示你输入参数,然后你输入的其实就是 X 中的元,完了敲回车,程序运行完了一般会给一个 “唯一” 的结果,那个就是 Y 里面通过关系 “程序” 和 X 中输入的那个参数相连系的元。也就是说,一个正常的程序就是一个函数,给一个值,出且只出一个值。