如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
【解析】
(1)根据旋转的性质可得OC=CD,∠OCD=60°,然后根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形判定即可;
(2)根据旋转的性质可得∠ADC=α,然后求出∠ADO=90°,即可得解;
(3)分AO=AD时,表示出∠AOC=∠ADC=α,然后根据周角等于列式求解即可;
DA=DO时,先表示出∠ADO,再根据等腰三角形的性质表示出∠AOD,然后根据周角列出方程求解即可;
AO=DO时,先表示出∠ADO,再根据等腰三角形的性质表示出∠AOD,然后根据周角列出方程求解即可.
【答案】
(1)证明:∵OC=CD,∠OCD=60°,
∴∠OCD是等边三角形(有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形);
(2)当∠α=150°时,由旋转的性质,∠ADC=α=150°,
∵∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∴△AOD直角三角形;
(3)当AO=AD时,∠AOD=∠ADO=α-60°,
∴∠AOC=∠ADC=α,
∴2α+110°=360°,
∴α=125°,
当DA=DO时,∠ADO=α-60°,
∴∠AOD=(180°-∠ADO)=(180°-α+60°)=120°-α,
∴120°-α+60°+α+110°=360°,
∴α=140°,
当AO=OD时,∠ADO=α-60°,
∴∠AOD=180°-2(α-60°)=300°-2α,
∴300°-2α+110°+α+60°=360°,
∴α=110°.
【点评】
本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,等腰三角形的两底角相等的性质,难点在于(3)要分情况讨论.
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