y=√(1+ x^2)的原函数是什么？

Question

如题所述

Answer 1

解：
let
x=tany
dx=(secy)^2 dy
∫√(1+x^2) dx =∫(secy)^3 dy
cosider
∫(secy)^3 dy=∫secy dtany
=secytany -∫(tany)^2. secy dy
=secytany -∫[(secy)^3- secy] dy
2∫(secy)^3 dy =secytany +∫secy dy
∫(secy)^3 dy = (1/2)[secytany +ln|secy + tany| ] + C
=(1/2)[x. √(1+x^2) +ln|√(1+x^2) + x| ] + C
∴y=√(1+x^2)的原函数:
(1/2)[x. √(1+x^2) +ln|√(1+x^2) + x| ] + C