数学高手进

Question

三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，若AE=BC，求∠BEC
证明出加分
这是难题，大家想啊！！题目是不会错的 2楼的，答案不是那么简单我可以很明确的告诉你答案在 30~35之间（全班同学精确画，量出的）

Answer 1

不行，证明不出来

Answer 2

简单啊
因为角A=20°
AB=AC所以三角形ABC是等边三角形
所以∠ABC=∠ACB=80°
所以叫ACE=40°【因为AE=BE到角两边的距离相等的在角平分线上】
因为角BEC是△AEC外角
所以∠BEC=60°

Answer 3

我解出来了，需要用两次正弦定理：
设BC=AE=x，AB=AC=y，∠BEC=θ，题目中用到角度我都直接写了，不再麻烦的推导了。
在三角形ABC中：
x/sin20 = y/sin80………………………(1)
在三角形AEC中：因为∠θ为∠EAC和∠ACE外角，
x/sin(θ-20) = y/sin(θ)…………………(2)
由(1)得：
y=xsin80/sin20
因为sin(π-θ)=sinθ
代入(2)得：
x/sin(θ-20)=xsin80/sin20*sinθ
约去x并化简：
sin20*sinθ=sin80*sin(θ-20)
sin20*sinθ=sin80(sinθcos20-cosθsin20)
两边同除以sinθ：
sin20=sin80(cos20-cotθsin20)
这就要用计算器了：
0.342=0.985(0.940-cotθ*0.342)
0.347=0.940-0.342cotθ
0.342cotθ=0.593
cotθ=1.734
tanθ=1/1.734=0.577
θ=arctan0.577
θ=29.98≈30
所以这个∠θ约为30度。

如果想计算更精确点，可以把式子进行如下变换：
sin20=sin80(cos20-cotθsin20)
sin20=4sin20cos20cos40(cos20-cotθsin20)
1/4=cos20cos40(cos20-cotxsin20)
1/4=(cos20)^2*cos40-(1/2)sin40cotθcos40
1/2=2(cos20)^2*cos40-sin40cotθcos40
1/2=cos40(cos40+1)-sin40cos40cotθ
1/2=cos40(cos40+1)-sin40cos40cotθ
这样就只有cos40和sin40，数据上不会出太大的误差。
cotθ=1.731
tanθ=0.5777
θ=arctan0.5777=30.015
比上边那个精确许多，由此推断，这个角应该在30度。

具体我还没有找到如何直接用正余弦推导出这个角度，只能先借用计算器了~