1.一已二次函数f(x)=ax²+bx+a的对称轴为x=7/4且方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根.
(1).求f(x)的解析式
(2).求函数f(x)在[1,3]上的值域
函数f(x)=ax^2+bx+c 对称轴为x=7/4,
x=-b/2a=7/4,
f(x)=7x+a=ax^2+bx+c
ax^2+(b-7)x+c-a=0
有两个相等实数根,即:只有一个跟,
a不等于0,所以判别式b^2-4ac=0,且c=0,
(b-7)^2-4a(c-a)=0;
c-a=0;
b=7,a=-2,c=-2
f(x)=-2x^2+7x-2
(2)f(x)=-2(x^2-7/2x)-2=-2(x-7/4)^2+33/8
对称轴是x=7/4,那么在[1,3]上:
最大值是:f(7/4)=33/8,最小值是f(3)=1
即值域是[1,33/8]
2.设x,y是关于m的方程的m²-2am+a+6=0的实根,求(x-1)²+(y-1)²的最值
方程m² -2am+6+a=0有根
Delt=4a²-4(6+a)>=0 a>=3或a<=-2
x,y是方程的两个根,所以x+y=2a xy=6+a
（x-1)² +（y-1)²
=x²-2x+1+y²-2y+1
=(x+y)²-2xy-2(x+y)+2
=4a²-2(6+a)-4a+2
=4a²-6a-10
=4(a-3/4)²-9/4-10 对称轴是3/4,在区间a>=3或a<=-2
当a=3时上式有最小值为8
3.设函数f(x)=ax²+bx+1(a,b属于R)
(1).若f(1)=0且对任意实数x均有f(x)大于等于0,求a,b的值
(2).在(1)的条件下,当属于[-2,2]时g(x)=f(x)-kx为单调函数,求k的取值范围
4. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b属于R,a≠0),满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根.
1)求f(x)的解析式;
解：
由f(-x+5)=f(x-3)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-1/2x^2+x;
5.已知二次函数f(x)二项式系数为a,f(x)大于-2x的解集为(1,3)
(1)若f(x)+6a=0有两等根,求f(x).
(2)求f(x)在[-2,0]上的值域
设f(x)=ax^2+bx+c, g(x)=f(x)+2x
由g(x)>0得解集为 (1,3)可知
a<0
g(1)=f(1)+2=a+b+c+2=0 (I)
g(3)=f(3)+6=9a+3b+c+6=0 (II)
可得：b=-2-4a, c=3a
(1)
若f(x)+6a=0有两等根，则有f(x)+6a=0的判别式为0可得
b^2-4*a*(c+6a)=0
将b,c代入可解得：a=-1/5, b=-6/5, c=-3/5 (a=1舍去)
故f(x)=-x^2/5-6x/5-3/5
(2)f(x)=-1/5(x^2+6x)-3/5=-1/5(x+3)^2+6/5
对称轴是x=-3,在[-2,0]上单调递减.
故最大值是f(-2)=1,最小值是f(0)=-3/5
即值域是[-3/5,1]
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