【求助】一道高中数学综合题

Question

如图，已知过原点O，从X轴正方向出发逆时针旋转240°，得到射线t,点A(x,y)在射线t上（x＜0，y＜0），设|OA|=m，又知点B在射线y=0(x＜0)上移如图，已知过原点O，从X轴正方向出发逆时针旋转240°，得到射线l,点A(x,y)在射线l上（x＜0，y＜0），设|OA|=m，又知点B在射线y=0(x＜0)上移动，设P为第三象限内的动点，若向量PB×向量BO=0，且向量PA×向量PB , 1/2向量AO×向量AP ， 向量AB的平方，成等差数列。
（1）试问，点P的轨迹是什么曲线？
（2）已知直线L的斜率为1/2，若直线l与P点轨迹有两个不同的交点M,N，设线段MN的中点为Q,求点Q的横坐标的取值范围。
题虽然有点长，希望大家看完啊..
3L的和我的想法一样..之后呢，轨迹是什么啊？...

Answer 1

（1）由题设可设P(x0,y0)，B(x0,0)，A(xA,yA)

∵|OA|=m, 

∴xA^2+yA^2=m^2

直线OA方程：y=3^(1/2)*x,且A在第三象限。

∴xA=-m/2,yA=-3^(1/2)*m/2

向量AO=(-xA,-yA),

向量PA=(xA-x0,yA-y0)

向量PB=(0,-y0)

向量AB=(x0-xA,-yA)

PA*PB=-y0(yA-y0)=y0^2-y0*yA   ①

AO*AP=xA(xA-x0)+yA(yA-y0)=m^2-xA*x0-yA*y0   ②

AB^2=(x0-xA)^2+yA^2   ③

∵PA*PB,1/2AO*AP,AB^2成等差数列

∴AO*AP=PA*PB+AB^2  ④

将①②③，xA,yA的值带入④式化简并整理得：

 x0^2+y0^2+m/2x0=0 即（x0+m/4)^2+y0^2=(m/4)^2

∴P点的轨迹方程为：（x+m/4)^2+y^2=(m/4)^2  ，x<0,y<0   ⑤

  点P的轨迹是一条半圆弧。

（2）设直线L方程：y=1/2x+b   ⑥

由⑤⑥可得：5/4x^2+(m/2+b)x+b^2=0  ⑦

 MN是交点，则xM,xN是方程⑦的两根。

Q是MN中点，故xQ=1/2(xM+xN)=-m/2-b

现在只需确定b的范围就行了。

见图：直线L应在图中所示的位置变化才能满足有两个交点

   相切时：方程⑦ △=(m/2+b）^2-4*5/4*b^2=0,b<0

                 解得：b=(1-5^(1/2))*m/8

当直线L过（0,0)时也有2个交点，此时b=0,但x<0

∴(1-5^(1/2))*m/8<b<0

   -m/2<xQ<(5^(1/2)-1)*m/8-m/2

Answer 2

1.
由题意知
令P（x，y) 则B（x，0） 又A（-m*sin30,-m*cos30)
向量AO*向量AB=向量PA*向量PB+向量AB的平方
所以（下面的都是向量 那个打出来太麻烦了,还有根号3太难打了 所以暂时只能有那个三角表示了）
AB*BO=AB(A0-AB)=PA*PB
AB=(x+m/2,mcos30) BO=(-x,0) PA=(-m/2-x,-mcos30-y) PB=（0，-y）
所以 -x^2-mx/2=-mycos30+y^2
整理一下 (y-mcos30/2)^2+(x+m/4)^2=m^2/4 (x<0,y<0)
所以 轨迹是一个60度圆心角的圆弧

2.
（图我这里比较难画 你自己试着画一下吧 很简单的）
令 L：y=x/2+b
与上述轨迹联立方程组
得 5x^/4+(b-mcos30/2+m/2)x+b^2-mbcos30/2
Xm+Xn=(2mcos30-2m-4b)/5
Xn*Xm=(4b^2-2mbcos30)/5

又Xq=(Xm+Xn)/2=(2mcos30-m-2b)/10
再联立方程
Xm+Xn<0
Xm*Xn>0
Δ>0
Ym+Yn=(Xm+Xn)/2+2b<0
Ym*Yn=b^2+（Xm+Xn)b/2+Xm*Xn/4>0
得
(2√3-2√5+1)m/8<b<0

所以Xq的范围是((√3-1)m/10,(2√3+2√5-5)m/40)

好了 相当麻烦的一道题 虽然知识很常规 但是算起来还是很头疼的事本回答被提问者采纳

Answer 3

不知道正确不 思路差不多就这样吧 

第二题自己带进去算下就OK，算式很简化，

Answer 4

这个在上面也不好算啊，过程也不好写啊

Answer 5

好难哦！