[n(n+1)/2]的平方 是什么意思

Question

2的立方加4的立方加6的立方一直加到100的立方
得多少

我去看了其他解法

2^3+4^3+...+(2n)^3+...100^3=2^3(1+2^3+3^3+...+10^3)
=8[50*(50+1)/2]^2=13005000
这样解正确吗？

如果正确请告诉我为什么这样解，主要是为什么这样解

那这个公式：[n(n+1)/2]的平方 是什么意思

Answer 1

正确~~这是……立方和公式，具体去百度输入立方和公式就可得到详细解答

1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2
[编辑本段]
公式证明
我们知道：
0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就有：
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
...................
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)
.
于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式代入
4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
大功告成！
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

Answer 2

我来补充几句

立方和是先立方再求和
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式是
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

立方和公式：

a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

立方差公式：

a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)
3项立方和公式：
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) +3abc
推导过程：
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

我们知道：
0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就有：
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
...................
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)
.
于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式代入
4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
大功告成！
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

关于因数的立方和

一般而言，任取一自然数N，他的因数有1，n1,n2,n3,……，nk,N，这些因数的因数个数分别为1，m1,m2,m3,……,mk,k+2,则
1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2)^3
=(1+m1+m2+m3+……+mk+k+2）^2
我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p，因数的个数只有1和2，所以成立。
合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。
比如120，有因数
1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它们的因数个数为
1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6，8，8，8，12，16，
1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100
（1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16）^2=8100