X1X2……Xn来自均匀分布总体(0,θ）记第K个顺序统计量为X（K）求X（n）的概率密度函数

Question

如题所述

Answer 1

设 X1, X2, ..., Xn 来自总体 U(0, θ)，并且这些随机变量是相互独立的。我们需要找到第 n 个顺序统计量 X(n) 的概率密度函数，即最大值的概率密度函数。
对于顺序统计量，我们可以先找到累积分布函数（CDF）F_X(n)(x)，然后对 x 求导以获得概率密度函数（PDF）f_X(n)(x)。
首先，我们需要计算 X(n) 小于或等于 x 的概率。这等于所有 n 个随机变量都小于或等于 x 的概率。由于 X1, X2, ..., Xn 是独立的，我们可以将它们的 CDF 相乘：
P(X(n) ≤ x) = P(X1 ≤ x) * P(X2 ≤ x) * ... * P(Xn ≤ x)
对于均匀分布 U(0, θ)，累积分布函数为：
P(Xi ≤ x) = F_Xi(x) = x/θ, 对于 0 ≤ x ≤ θ
P(Xi ≤ x) = 0, 对于 x < 0
P(Xi ≤ x) = 1, 对于 x > θ
所以对于 0 ≤ x ≤ θ，
P(X(n) ≤ x) = F_X(n)(x) = (x/θ)^n
现在我们对 x 求导以获得概率密度函数：
f_X(n)(x) = d/dx (F_X(n)(x)) = d/dx ((x/θ)^n) = n * (x/θ)^(n-1) * (1/θ)
因此，X(n) 的概率密度函数为：
f_X(n)(x) = n * (x/θ)^(n-1) * (1/θ), 对于 0 ≤ x ≤ θ
f_X(n)(x) = 0, 其他情况
这就是第 n 个顺序统计量 X(n) 的概率密度函数。