数学建模 线性规划

Question

有甲 乙 丙三种物品，重量分别为1，2，3（单位：kg），体积分别为2，1，

3（单位：L），价值分别为3，5，7（单位：元）。某人出行，选10件物品随行。受
条件所限，随身物品总重不得超过18kg，体积不得100L。问三种物品，分别选择几

件，可使随身物品价值最大？（提示：线性规划）

Answer 1

设甲乙丙三种物品分别带x,y,z种
目标是
max 3x + 5y +7z
需要满足的约束条件是
x + 2y + 3z <= 18
2x + y + 3z <= 100
x + y + z = 10
x >= 0
y >= 0
z >= 0

用单纯型法解上面的问题可以得到一个最优解
x = 2
y = 8
z = 0
总价值最大为46

倘若不用单纯型法，这个问题也可以画图解决：
把z = 10 - x - y代入上面的问题可以得到
max 70 - 4x - 2y
需要满足的约束条件是
2x + y >= 12
x + 2y >= -70（该条件多余，可以去掉）
x + y <= 10
x >= 0
y >= 0

在2维平面上画出图像可以看出
满足条件的最优解都在线段2x+y = 12（2<=x<=6）上面
再结合x,y,z必须为整数
最后可得最优解
x=2,y=8,z=0
或
x=3,y=6,z=1
或
x=4,y=4,z=2
或
x=5,y=2,z=3
或
x=6,y=0,z=4

最大总价值都是46

Answer 2

设甲 乙 丙分别为x,y,z 价值为M
则有x+y+z=10
x+2y+3z≤18
2x+y+3z≤100
M＝3x+5y+7z
然后用x,y去表示z
就得 2x+y-20≥0
x+2y+70≥0
0≤x≤10
0≤y≤10
0 ≤10-x-y≤10
M＝70－4x-2y

然后就可以画图求解了