第一部分 选择题 (共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 复数 （ 是虚数单位）=
A． B． C． D．
2. 已知等比数列 的前n项和为 ，则 =
A. 0 B.-2 C. D.1
3 如果指数函数 在 上是增函数，则a的取值范围是.
A． a＞2 B．2＜a＜3 C. a＜3 D．a＞3
4. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的全面积为
A． B．2
正视图 侧视图
C. D．
俯视图
5．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度
15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的
仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 米
（如图所示），则旗杆的高度为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
6. 以下五个命题
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟0020从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度
③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
④在回归直线方程 中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 增加0.1个单位
⑤在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%以上.
其中正确的是
A．②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．②④
7.下列有关命题的说法正确的是
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件．
C．命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ”．
D．．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题．
8.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
第二部分 非选择题(共110分)
二.填空题：每小题5分, 共30分.
9．已知 与 为互相垂直的单位向量， ， ，且 与 共线，则实数 = .
10．如图，是一程序框图，则输出结果为 .
(说明， 是赋值语句，也可以写成 ，或 )
11. 已知可行域 的外接圆C与 轴交于点A1、A2，双曲线E以线段A1A2为实轴，离心率 ．则圆C的方程是 ；双曲线E的方程是 .
12. 观察以下几个等式：⑴ ； ⑵ ；
(3) ，归纳其特点可以获得一个猜想是： ．
选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分.
13. （参数方程与极坐标）已知 是曲线 的焦点， ，则 的值是 .
14（几何证明选讲）如图， 是圆 外的一点， 为切线，
为切点，割线 经过圆心 ， ,则 __________.
15.（不等式选讲）已知 在直线 运动，当函数 取得最大值时， 点的坐标为
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
如图，设 是单位圆和 轴正半轴的交点， 是单位圆上的两点， 是坐标原点， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）设函数 ，求 的值域．
17.(本题满分12分)
在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（Ⅱ）设 为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求 的分布列和数学期望．
18. (本题满分14分)
如图，在等腰梯形 中， 为 边上一点，且 将 沿 折起，使平面 ⊥平面 ．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ) 若 为 的中点，试求异面直线 和 所成的角的余弦值．
(Ⅲ) 试问：在侧棱 上是否存在一点 ，使截面 把几何体分成的两部分的体积之比 ？若存在，请求 的长；若不存在，请说明理由.
19. (本题满分14分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少 ，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 .
（Ⅰ）设第 年（本年度为第一年）的投入为 万元，旅游业收入为 万元，写出 ， 的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？
20. （本题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 .
直线 交椭圆于 两不同的点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线 不过点 ,求证：直线 与 轴围成等腰三角形.
21. (本题满分14分)
已知x=0是函数 的一个极值点，且函数 的图象在 处的切线的斜率为2 .
（Ⅰ）求函数 的解析式并求单调区间.
（Ⅱ）设 ，其中 ，问：对于任意的 ,方程 在区间 上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.
2009年韶关市高三第二次模拟测试数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题答案 BCBDB ADD
二、填空题
9.4； 10.11; （2分，3分）; 11. （2分，3分）
12. 或
13. ;14. ，; 15.
三、解答题
16.(本题满分12分)
如图，设 是单位圆和 轴正半轴的交点， 是单位圆上的两点， 是坐标原点， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）设函数 ，求 的值域．
解：（Ⅰ）由已知可得 ………………………………2分
………………………………3分
…………………………4分
（Ⅱ） ……………………6分
………………………………7分
………………………………8分
………………………………9分
………………………………11分
的值域是 ………………………………12分
注：若结果写成闭区间或开区间扣1分
17.(本题满分12分)
在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（Ⅱ）设 为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求 的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 A，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事 件A、B相互独立， 且 , .……4分
所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为
…………………………… 6分
（Ⅱ）设 可能的取值为0,1,2,3.得
, ,
…………… 9分
的分布列为
0 1 2 3
P
∴ 的数学期望 …………12分
18.(本题满分14分)
如图，在等腰梯形 中， 为 边上一点，且 将 沿 折起，使平面 ⊥平面 ．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ) 若 为 的中点，试求异面直线 和 所成的角的余弦值．
(Ⅲ) 试问：在侧棱 上是否存在一点 ，使截面 把几何体分成的两部分的体积之比 ？若存在，请求 的长；若不存在，请说明理由.
(Ⅰ)证明：依题意知 ，
又 ‖
又∵平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，
平面 …………………4分
(Ⅱ) 如图,把四棱锥 补成一个长方体，其中 分别为
所在棱的中点,则易得 ‖ ， ‖ ，所以 就
是异面直线 和 所成的角…………6分
连结 ，在 中，
在 中，
在 中， ，
由余弦定理可得：
……………8分
所以异面直线 和 所成的角的余弦值为 ．…………9分
(Ⅲ) 解：假设在侧棱 上存在一点 ，满足条件
∵
∴ ………………11分
又由 知 平面 ，又
．
设 到平面 的距离为 ，则
……………………12分
又 ， 故 ……………………14分
另解：
(Ⅰ)由 知 平面 ，如图，分别以 所在的直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 ，则易得各点的坐标为 故 ．设
是平面 的一个法向量，由 可得
由 可得 ， ，
又因为 是平面 的一个法向量，
所以平面 ⊥平面 ……………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 的中点的坐标为 故 又
所以异面直线 和 所成的角的余弦值为 ．……………14分
19(本题满分14分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少 ，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 .
（Ⅰ）设第 年（本年度为第一年）的投入为 万元，旅游业收入为 万元，写出 ， 的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？
（Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为800万元，公比为 的等比数列，每年旅游业收入组成首项为400万元，公比为 的等比数列。………………………………2分
所以， ………………………………4分
（Ⅱ）解，经过 年，总收投入 ………5分
经过 年，总收入 ……………6分
设经过 年，总收入超过总投入，由此， ,
化简得 ………………………………8分
设 代入上式整理得，
解得， 或 （舍去）………………………………10分
由 ， 时， ， ， ＝ ………12分
因为 在定义域上是减函数，所以 ……………………13分
答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。………………………………14分
20.(本题满分14分)
已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 . 直线 交椭圆于 两不同的点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线 不过点 ,求证：直线 与 轴围成等腰三角形.
………………5分
21. （本题满分14分）
已知x=0是函数 的一个极值点，且函数 的图象在 处的切线的
斜率为2 ，
（Ⅰ）求函数 的解析式并求单调区间.
（Ⅱ）设 ，其中 ，问：对于任意的 ,方程 在区间 上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.
解：（I） …………1分
由 …………2分
又 ，故 ………3分
令 得 或
令 得
故： ，单调增区间是 ，单调减区间是 ……………5分.
（Ⅱ）解:假设方程 在区间 上存在实数根
设 是方程 的实根， ,
令 ,从而问题转化为证明方程 =0
在 上有实根,并讨论解的个数……………………7分
因为 , ,
所以
①当 时, ,所以 在 上有解,且只有一解
②当 时, ,但由于 ,
所以 在 上有解,且有两解 ……………………………………10分
③当 时, ,所以 在 上有且只有一解；
当 时, ,
所以 在 上也有且只有一解…………………………………12分
综上所述, 对于任意的 ,方程 在区间 上均有实数根
且当 时,有唯一的实数解；当 时,有两个实数解……14分
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