当a属于[-1,1]，a^n趋于0或等于1，因此lima^n/n!=0
当a不属于[-1,1]，直接算不方便，用Stirling近似公式，当n趋于无穷，n!=(n/e)^n*√(2*π*n),其中π是圆周率，e是自然对数的底数。
lim a^n/n!= lim a^n/[(n/e)^n*√(2*π*n)]，可以看到，e和a是常数，lim（ea/n）^n*[1/√(2*π*n)]，当n趋于无穷大，（ea/n）^n和1/√(2*π*n)都趋于0。
综上故lim a^n/n!= 0。
拓展与再定义
一直以来，由于阶乘定义的不科学，导致以后的阶乘拓展以后存在一些理解上得困扰，和数理逻辑的不顺。阶乘从正整数一直拓展到复数。传统的定义不明朗。所以必须科学再定义它的概念。
真正严谨的阶乘定义应该为：对于数n，所有绝对值小于或等于n的同余数之积。称之为n的阶乘，即n!
对于复数应该是指所有模n小于或等于│n│的同余数之积。。。对于任意实数n的规范表达式为：正数 n=m+x,m为其正数部，x为其小数部，负数n=-m-x,-m为其正数部，-x为其小数部。