怎样证明极限存在

Question

如题所述

Answer 1

证明极限存在的方法有夹逼定理和单调有界定理。

1、夹逼定理

夹逼定理（英文：Squeeze Theorem或Sandwich Theorem）是利用函数值的变化趋势作为函数极限存在判定的一条准则。夹逼准则的重要性在于不仅提供函数极限是否存在的依据，还可求出具体的极限值。夹逼定理对于数列极限也同样适用。

夹逼准则的重要性在于不仅提供判断数列收敛的一种方法，而且可用于求极限。 

2、单调有界定理

若数列an递增有上界（递减有下界），则数列an收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。

运用范围：

（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法。

（2）数列从某一项开始单调有界的结论依然成立，这是因为改变数列有限项不改变数列的极限。

数列极限和函数极限：

数列极限：

1、数列的定义

一个定义在正整数集合上的函数yn=f(n)（称为整标函数），当自变量n按正整数1，2，3…依次增大的顺序取值时，函数值按相应的顺序排成一串数：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…称为一个无穷数列，简称数列。数列中的每一个数称为数列的项，f(n)称为数列的一般项。

2、数列的极限

此定义中的正数c只有任意给定不等式才能表达出xn与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数c是有关的，它是随着c的给定而选定的。

函数极限：

函数的极值有两种情况：（1）自变量无限增大；（2）自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。