关于曲线系方程的问题

Question

1 为什么过2圆交点的圆系方程可以设为 k1(x^2+y^2+D1x+E1y+F1)+k2(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 , (k1^2+k2^2>0，且k1+k2≠0）
2 和1类似， 为什么一条线与已知圆相交于两点， 过2个交点的圆系方程可以设为 x^2+y^2+Dx+Ey+F+K(AX+BY+C)=O
3 已知圆C1及圆上一点(m,n)，为什么C1+K[(x-m)^2+(y-n)^2]=0 k为参数
表示与C1相切于(m,n)的圆系
4 同3，为什么未知圆与直线Ax+By+C=0相切于(m,n）这个圆可以设为（x-m)^2+(y-n)^2+k(Ax+By+C)=0
其实是一类问题 希望详细解答， 分用光了= - 所以。。。 见谅

Answer 1

这类问题涉及到圆幂和根轴的有关知识。
圆幂定义为平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂。
根轴的定义为在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。
容易证明:
1) 若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
2) 若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；
3)任意两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1和x^2+y^2+D2x+E2y+F2，根轴方程为 (D1-D2)x+(E1-E2)y + F1-F2 = 0

有了以上知识，首先可以证明第二题，然后是第一题。
第三题和第四题也类似。可以先证明第四题再证明第三题。