求解一道数学选择压轴题f(x)=x^4+4x^3+ax^2-4x+1>0,求实数a的取值范围

Question

求解一道数学选择压轴题f(x)=x^4+4x^3+ax^2-4x+1>0,求实数a的取值范围原题是17年绵阳一诊理数最后一道选择题，我无论用剥离还是直接讨论都没法讨论单调性，设假根带入也不行，放缩也不行。据说要用四次函数图像性质，我才高中也没学过，求大神或者当时做起这道题的人给给解答，有完整的思路方法就行，不用全部写下来，或者介绍一下四次函数性质怎么配方

Answer 1

要想它大于0恒成立，这个4次多项式应该是一个二次多项式的平方，且这个多项式也是不为0的

假定这个多项式为x^2 +bx +1或者x^2 +bx -1
然后平方可以找到答案追问

我设b=2,恰好(x^2+2x-1)^2=x^4+4x^3+2x^2-4x+1,此时a=2，答案就是a>2,这是为什么呢，想不通

x^2+2x-1也不是一个恒大于的二次函数啊，为什么a变一点点就可以恒成立了

题我没有抄错，检查过的，少写了个恒成立

谢谢…我想通了

配方后a>2的话相当于在展开后式子上直接加了个正系数乘以x^2,式子本来就大于等于0,加个x^2，也大于等于0,取等时x取值不一致，故大于0

可是配方好难想，是不是只有此题这种形式是这样的，这种方法并不普遍

Answer 2

a>2
我们假定它为某二次式的平方。
则有x^4+4x^3+ax^2-4x+1=(x^2+bx+1)^2，当b>0时，则x系数为正，不成立，当b<0时，x^3系数为负，不成立。所以不能分解成(x^2+bx+1)^2形式，只能是(x^2+bx-1)^2的形式。而(x^2+bx-1)^2=x^4+2bx^3+(b^2-2)x^2-2bx+1，那么2b=4，a=b^2-2，得b=2，则a=b^2-2=2。所以x^4+4x^3+2x^2-4x+1=(x^2+2x-1)^2>=0。而a>2时，则a-2>0，于是(a-2)x^2>=0，仅当x=0时，(a-2)x^2=0，而x^4+4x^3+2x^2-4x+1=1，所以a>2时，x^4+4x^3+ax^2-4x+1恒大于0。而当a<2时，则有x^4+4x^3+ax^2-4x+1=(x^2+(2+√(2-a))x-1)(x^2+(2-√(2-a))x-1)(a<2)，而因为常数项是-1，所以以上两个多项式中每个吊塔必大于0。以上方程必有四个不等实根。所以可以小于0，不成立。
综上，当a>2时，f(x)=x^4+4x^3+ax^2-4x+1>0。