请看下面，但是图片搞不出来，要详细图的话加我：给我发邮件：
[email protected]，我会给你发过来的！
声明的事这不是我做的，我在网上调出来的！嘿嘿！
洁具出流时间的优化设计
引 言
感应洁具采用无接触设计，用后离开自动冲水，避
免扳手接触引起细菌的传播及交叉感染。非典过后，大
型体育场馆、车站、医院、卫生条件要求较高的生产厂
房等公用场所卫生间普遍采用。红外感应洁具的出流特
性如何 ?是否符合节水要求 ? 目前各大生产厂家主要采
用以下两个流水方案。
方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具已均
匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动放水，若使用
时间不超过 T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，
在使用者离开后再放水一次，持续时间为 10秒。
方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均
匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水，若
使用时间不超过 T-5秒，则只放水一次，否则，为保持
清洁，到 2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。
但若使用时间超过 2T-5秒，则到 4T时刻再开始第三次
放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命
尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。
随机调查了 100人次男性从开始使用到离开洁具为
止的时间 (单位：秒 )见表1：
从节约能源角度比较了两种方案的优劣，并提供设
计参数 T的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达
到最大限度节约水电的目的；并从既保持清洁又能节约
能源的角度出发，设计了一套更好的方案。
1 模型假设及符号说明：
(1) 符号说明 :
T：洁具中设计的放水时间参数（单位秒）;
t：使用者使用的时间 ;
f：每个人使用后冲水的时间；
v：放水过程单位时间内流出的水量；
R：所有使用者使用的冲水时间的累加；
r：每位使用者平均使用的冲水时间；
c：每个使用者使用洁具时，平均冲水的次数；
(2) 模型假设 :
1、厂家 随机 100人次得出的男性使用洁具时间可
以反映出现现实情况。
2、一般电子控制水龙头的开关采用继电器，计时系
统的耗电可以忽略，只考虑继电器的耗电，因此耗电量
与冲水次数和流水时间有关。
3、洁具的寿命与冲水次数和冲水时间有关。
4、用水量与用水时间成正比。
5、使用者每次使用时间属于正态分布。
6、前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立。
2 模型建立和问题分析
2.1模型一
设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具
时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影
响。则方案一时间的计算如下：
当使用时间不超过 T-5秒时，放水一次，时间为 T
秒。否则放水时间为 T+10秒。数学表达式如下：
其中 f代表冲水时间。则用水量为 f×ν
方案二时间的计算如下：
当使用时间不超过 T-5秒时，放水一次，时间为 T
秒。否则，到 2T时刻再开始第二次放水，总的放水时间
为2T。依次类推，使用时间超过 n×T-5时，到第 2n×T的时刻再开始第 n+1次放水，时间为(n+1)×T。数学
表达式如下：
表1
f代表冲水时间。则用水量为 f×ν从而，我们可以
图1
图2 1000人冲水时间的累加
首先用 matlab软件中的 HIST函数对所给的数据进
行绘图，从图可以看出使用者每次使用时间属于正态分
布。然后用 NORMPLOT画出其概率图。以下使用者使
用时间的直方图及正态分布概率图，见图1。
由 NORMPFIT函数算出其均值为 15.0900, 方差为
1.0259。用 TTEST 函数经检验其均值结果如下：H=0，
P=1，Ci=14.8864 15.2936。H=0，P=1代表不拒绝零假设。
Ci=14.8864-15.2936，说明期望在 14.8864-15.2936之
间概率为95%，15.09完全在其中。我们用 NORMRND
函数产生服从正态分布的随机数，可以对 1000人进行统
计他们总的使用时间和冲水次数。由于不知道上一个使
用者和下一个使用者上厕所的时间间隔，我们对三种情
况进行了不同的讨论。
下面是在不同 T的情况下的所有人用的时间，而且
可以得出在不同 T的情况下所有人使用洁具的次数。我
们比较两种方案，得出方案一更好些。
由图 2与图 3可知：
在 T=22秒以前，方案一冲水时间要明显小于方案
二的冲水时间。在 T=22秒以后，方案一冲水时间与方案
二的冲水时间一样的。在 T=11秒以前，方案一冲水次数
要明显小于方案二的冲水次数。在 T=11秒以后，方案一
冲水次数和方案二的冲水次数无区别。
综上所述，从节约能源的角度和洁具寿命的角度上
来看，方案一比方案二好。如果只从节约能源的角度来
考虑的话，T=6秒，是最佳的选择。如果还考虑清洁度
和洁具的寿命的话，T=22秒，最佳的选择。
2.2模型二
设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时
图 3 1000人冲水次数的累加
间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。由于洁具可以
根据用户要求，设定不同的程序。为了节约用水，一般
洁具具有重新计时功能。考虑到时间间隔，我们对方案
一和方案二的时间计算公式进行修正。设 G为时间间隔，
则方案一时间计算公式如下：
t+G t<T-5 t+G ≤ T
T t<T-5 t+G>T
f={
t+G t>T-5 t+G ≤ T+10
T+10 t>T-5 t+G>T+10
方案二时间计算公式如下：
t ≤ T-5 nT nT-5<t≤(n+1)T-5 t+G≤2nT
f=
t+G-nT nt-5<t≤(n+1)T-5 t+G≤(2n+1)T 2nT<t+G
{(T )
(n+1)T nT-5<t ≤ (n+1)T-5 (2n+1)T<t+G
时间间隔小于 10秒，方案一，方案二，冲水时间和
冲水次数的比较
从图4可知：在T≤9或T＞20 秒，方案一的冲
水时间和冲水次数小于方案二的。在 9＜ T ≤ 20秒，方
案二的冲水时间和冲水次数小于方案一的。对于方案一，
图4
图5
图6
图7
图8
T=6秒，R=9536秒，r=9.536秒，平均每人用 9.536×ν水量，C=1.596；T=22秒，R= 19975秒，r= 19.975秒，
平均每人用19.975×ν水量，C=1。对于方案二，T=11秒，
R=11601秒，r=11.601秒，平均每人用 1.601×ν水量，
C= 1.309。如果从节约能源的角度来选；方案一是最佳
的，且选T=6秒。如果还从清洁度和洁具的寿命角度来选；
方案二是最佳，且选 T=11秒。
我们还考虑了时间间隔是 20秒以内，30秒以内，
40秒以内的随机数。我们发现具有以上同样的规律。而
在 50秒以内，60以内，70秒以内….的随机数，我们发
现方案一在各方面都好于方案二。T的选择可作类似分析
见图5。
时间间隔为 30秒以内的随机数，见图6。
时间间隔为 40秒以内的随机数，见图7。
时间间隔是 50秒，60秒，70秒……600秒，见图8。
综上所述，如果洁具用在人比较少的地方，比如家
庭则选方案一，设定 T=6秒；如果洁具用在人比较多的
地方，比如公共厕所则选方案二，设定 T=11秒，时间间
隔为 20秒以内的随机数。
2.3问题的进一步分析
根据我们在网上查到的资料，一般人的一次排尿量
在 200cc～400cc左右，一般的洁具都会在器具的下方有
一个存水弯，以我们调查的 TOTO洁具为例，它下面的
存水弯大概有 300cc的大小，其他的产品有所不同，为了
洁具的清洁，必须使存水弯的尿液浓度在一定的水平以
下，防止在存水弯出留有大量的污垢和尿液，否则将会
使存水弯堵塞或是尿液大量存放污染室内空气。人体尿
液和清洁用水汇合成混合后的污水，流入存水弯，再从
出水口流出，我们建立如下模型解决这个问题。求出在
清洁流水为一定值下，要使存水弯的尿液浓度达到我们
希望的值所需时间，见图9。
现在假设：尿液与水流迅速混合；参与模型的变量
是连续变化的，并且充分光滑；洁具管道中的盛水体积
是一定的；洁具的洁净度与尿液在洁具中的浓度有关；
对于洁净度，由于相同的洁具体积是一样的，而卫生间
的空间大小是不一样的额，所以洁净度我们只考虑管道
和洁具里的尿液浓度，而不考虑空气中的氨气浓度。并
做如下符号假设：
rI(t)：t时刻流入洁具的流数；
pI(t)：t时刻流入洁具的液浓度；
r0(t)：t时刻流入洁具的水流；
p0(t)：t时刻流入洁具的混合液体的浓度；
p(t)：t时刻洁具中尿液的浓度；
V(t)：t时刻洁具里液体的总体积；
表2
x：单位时间内水流与尿液流量之比；
tα：人走后冲水时间；
类似于池水含盐问题，我们得到模型：
若v（池水体积）取常数，则 rI(t)与 r0(t)相同，流
出的脏水与应与洁具中的尿液浓度一样，r0(t)与p(t)相同。
再设定流出的脏水流速为常数，于是 rI(t)=r0(t)=r0，于是
有
令 τ=V/r 0，不难理解 给出了排尽洁具中液体所需
要的时间或可以说是液体保留的时间，于是有洁具尿液
浓度的模型：
(1)
设 p I(t)＝K为常数，即每个使用时刻，设定尿液
的浓度是一样的，如果设在初始时刻 t=0,则有 p(0)=p s，
那么模型（1）可以确定解出：
p(t)=(ps-K)e-t/τ+K
1、由模型（1）可以看出，当流入浓度K给定时，
洁具中尿液浓度的变化速率只依赖于洁具液体的保留时
间τ，并于 τ的大小成反比。
2、称 β=(p(t)/K为污染水平。
3、若使用者使用的时间间隔比较长，可以认为
ps=0，对于干净的洁具，则 t时刻的污染水平 β(t)=1e-
t/τ，取不同的 β值意味者污染状况的恶化程度。水体
达到污染水平 β所要的时间为 t β=τln[1-β0]/(1-β)]，
其中 β 0=ps/K。
4、若K=0，即没有污染物流入，这时洁具中的混
合液体会以很快的速度的到净化，这时：
tα=τln(ps/p(t))
就给出了要把污染减少到初始污染水平的百分比
α=p(t)/ps所要的时间，取不同的α，也就是把污染水
平降到目前水平的比例，即可求出时间，设人体排除的
尿液 ρ与水流混合后为原来尿液浓度的
为单位
时间里水流与尿液流量之比，则 p I=K=p/(x+1)。则我们
认为水流全部冲洗完后，只要洁具中的尿液浓度为人体
尿液浓度的5％，则认为冲洗的效果是清洁的。
由上面的模型可以知道，第一次冲水后：p(t)=β×K=β×p/(x+1)，此时 β(t)=1-e -t/τ，ps=β×K=(1e-
t/τ)×p/(x+1)
第二次冲水时在人走后：K=0，初始时刻 p(t)/
ρ=5%
tα=τ×ln[ps/p(t)]=τln[(1-e-t/τ)/((x+1)×5%
则冲水的总时间为：T=t α+t=t+τln[(1-e-t/τ)/
((x+1)×5%。计算结果如表2：(当 x=4 , τ=5)
冲水时间的期望值为：
人走后冲水时间的期望值为
3 结 论
用两个模型，对感应式小便器目前主要采用的两种
出流方案进行了分析比较，用 matlab求出了各方案出流
时间设计参数 T的最优值，并在此基础上，对感应式小
便器的出流时间进行了优化设计，给出了一套既节水又
卫生的流水方案。对冲水时间进行合理求解，冲水时间
从人开始应用洁具起延迟 2妙钟，再冲水，可以起到节
约用水的目的。
参 考 文 献
[1]伍斌，孙清华 .现代卫生洁具的人性化设计 [J], 中国陶瓷
工业，June 2003,Vol.10,No.3.p56-59
[2]章争荣 ,孙友松等 .基于 CAD/CAE/CAM/RP 的复杂陶
瓷产品快速制造技术[J]. 中国陶瓷.Vol.41 No.5.Oct.2005.
P35-38
[3]刘来福 曾文艺，数学模型与数学建模[M]，北京师范大学
出版社，2002
[4]沈恒范，概率论与数理统计教程[M]，高等教育出版社，
2003.4