在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c·sinA+√3a·cosC=0,求角C的

Question

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c·sinA+√3a·cosC=0,求角C的大小，若a=8,b=5,D为AB的中点，求CD的长度

Answer 1

解：（1）由正弦定理：a/sinA=c/sinC 得：csinA=asinC,
因为　csinA+(根号3)acosC=0
所以　asinC+(根号3)acosC=0
2a[(1/2)sinC+(1/2根号3)cosC]=0
cos60度sinC+sin60度cosC=0
sin(C+60度)＝0
　　　　　　　　　C+60度＝180度
　　　　　所以　角C=120度。
　　（2）延长CD到E,使DE=CD,则CE=2CD,　
　　　　　又因为　CD是三角形ABC的中线，
　　　　　　所以　易知：三角形BCD全等于三角形AED,
　　　　　　所以　AE=BC=A=8, 角AED=角BCD,
　　　　　　所以　角AED+角ACD=角BCD+角ACD
　　　　　　　　　　　　　　　　　=角ACB
　　　　　　　　　　　　　　　　　=120度，
　　　　　　所以　角CAE=180度--（角AED+角ACD）
　　　　　　　　　　　　　=180度--120度
　　　　　　　　　　　　　＝60度。
　　　　　　所以　在三角形ACE中，由余弦定理可得：
　　　　　　　　　　CE^2=AC^2+BC^2--2ACxBCxcosCAE
=25+64--2x5x8xcos60度
　　　　　　　　　　　　＝49
　　　　　　　　　　CE=7,
　　　　　　所以　CD=CE/2=3.5.

Answer 2

120度 7/2 正余弦定理即可解决

Answer 3

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