多项式趋势面分析是用多项式数学面拟合观测值中区域性变化的“趋势”,进而分离出局部性变化的统计分析方法。其中的数学面称趋势面。从每个观测值中减去相应的趋势面值,得到的每个点上的相应差值,称剩余值,它是局部性因素引起的。依据趋势值和剩余值绘制出的等值线图,分别称趋势面图和剩余图。由于两个图反映着两种相关联而又不同的地质对象,故研究时需要把二者结合起来分析。
趋势面分析可以用来描述任何具有空间特性的物理量。例如物化探场的观测值、岩石的物性参数、构造的形态参数等。在放射性测量中,应用这种方法可以解决如下问题:①研究放射性元素的空间富集规律,指示找矿方向,预测和评价远景区;②研究构造形态,指示成矿元素富集部位;③筛选出有价值的剩余值,缩小找矿、探矿“靶区”。
应当指出,无论哪种趋势面分析,其目的都是“提取”观测值中的趋势部分,排除随机干扰分离出有价值的剩余值。它们的区别仅是选用的拟合函数不同而已。
在放射性勘探中运用较普遍的是多项式趋势面分析,不同的是多项式趋势面分析中自变量是地理(空间)坐标,研究的是场晕的空间变化规律。按照自变量个数可分为二维、三维多项式趋势面分析。其中二维空间的趋势面方程中,仅出现一次项时,称一阶趋势面;出现二次项时,称二阶趋势面;以此类推,有三阶、四阶……n阶趋势面。
多项式趋势面方程,只要经过某些数学变换就可化成多元线性回归方程。例如二阶多项式趋势面方程:
放射性勘探方法
式中:x、y为地理坐标;z为观测值。
只要对它作如下变换:
u1=x,u2=y,u3=x2,u4=xy,u5=y2
则(6-94)式就化为有5个自变量的线性回归方程。即
放射性勘探方法
从以上分析可知,趋势而分析就是回归分析的直接推广。但多项式趋势面分析在含义上与回归分析还是有区别的。
(一)趋势面方程的建立
多项式趋势面分析的数学模型为
放射性勘探方法
式中:z为观测值;εt为剩余值(εt的正态性假设能否满足,是多项式趋势面分析效果好坏的重要条件),B1,B2……为待定系数。
设拟合函数的形式是
放射性勘探方法
为了使
放射性勘探方法
根据求极值原理,使Q函数的一次导数为零,即
放射性勘探方法
经整理后得联立方程组:记
放射性勘探方法
解这个联立方程组,求得系数的最佳估值b0,b1,b2……并代入(6-97)式,即得到所求的趋势面方程。
(二)趋势面方程的代表性与剩余值的分析
由上述可知,趋势面方程已经建成,但是究竟这个方程拟合效果怎样?需要做出判断,并进行检验。通常用拟合度
放射性勘探方法
来表示趋势面的拟合程度。式中,n为测点数。
显然,C是个从0%到100%的数,C越接近100%,拟合程度越高,但拟合过高,并不合适,过小也不好。因为过高就失去趋势面分析的意义;过小又达不到目的。这一问题可以从C的物理意义上看出来:若C为12.3%,表明趋势面只反映了观测值总波动的12.3%,还有87.7%没有得到反映,而留在剩余波动中了。那么,如何判断某个趋势面方程表征观测值的变化趋势是否合适,即判断方程有没有显著意义?可以用实际资料检验,看其是否符合实际。在数学上可以用F检验:
放射性勘探方法
式中:n为测点数;s趋为趋势平方和;s剩为剩余平方和;k(=p(p+3)/2)为p次趋势面的项数(常数项除外)。
检验时先给定信度α,查Fα分布表得临界值Fα(k,n-k-1),若F>Fα,则认为趋势面是显著的;否则不显著,即无实际意义。
应当指出,当条件εt~N(0,σ2)不成立时,即被观测的变量不是随机独立变量时,F值往往会偏大,这时用F检验作为判断趋势面是否合适的标准就不恰当了。自然,在这种情况下,把剩余值作为真正有意义的“异常”就会出现不真实情况。
为了进一步对趋势面拟合的精度做出概率估计,应对剩余值做出评价,为此,需要求出剩余标准差σ:
放射性勘探方法
用σ可以估计观测值出现在下列范围内的概率:
在区间
如果观测值不在上述区间内,可能是某些特殊原因引起的,应当引起重视,深入研究。
实际中,用上面确定的趋势面方程代入观测点的地理坐标计算趋势值,用趋势值绘制的等值图称趋势面图。为了分离出异常还需要计算剩余值,用正剩余值绘制的等值图称剩余等值图。
由于实际中εt并非完全是随机的,故需进一步分析剩余εt:
放射性勘探方法
式中et~N(0,σ2)分布。若Δzt-et>0时,At称异常分量。应用时et可以用剩余标准差σ来代替。
应当指出,对趋势面及剩余值(或异常分量)进行分析时,不仅要把它们结合起来,而且要特别注意各部分观测值所代表的地质含义。趋势面的高低,仅是某地质变量的空间变化性的描述,它的变化原因才是实质性的解释。
另外,在趋势面分析中还须注意如下问题:
1)趋势部分的“提取”除了与函数本身有关外,还与数据的变化性质有关,即与剩余值εt有关。因此,在一般情况下,对变化缓和的数据常用低阶数学面拟合;对变化大的数据用稍高阶的数学面拟合较合适。
2)上面所说的“提取”,仅仅是提取了拟合函数部分,数据的空间分布是否真有这种函数关系,人们是不清楚的。
3)尽管趋势分析是回归分析的推广,但是,这里因变量(观测值)与自变量(地理坐标)是不能互换的,即不能用观测值来预测地理坐标。
4)通常情况下,剩余并非完全是随机的,它仍没有脱离空间的制约。
(三)应用实例
[例1]在某岩体西翼大西江地区的308km2面积上取水样1408个,用水中铀含量作五阶多项式趋势面分析,如图6-26所示。分析表明,趋势等值线的变化显示了水中铀含量背景值的变化。北部以大西江为中心的趋势隆起,其趋势值较高,是由于地形低洼,形成汇水区使水中铀含量增高所致,没有异常分量存在。沿F1、F3含矿构造带及其附近,趋势隆起的值中等,且变化平稳,其长轴与构造走向基本一致。剩余值晕圈及剩余值较高的点较多,沿构造带断续分布。这些特征反映了深部存在铀矿体。已探明有一个大型铀矿床存在。出此可见趋势面分析不仅能排除向背景值的干扰,而且能圈出铀矿化的富集区段。
图6-26 某岩体西冀某地区水中铀含量五阶趋势面剩余等值图
1—趋势等值线,单位Uγ;2—剩余等值线,单位Uγ;3—异常点;4—地质构造线;5—γ3岩体界线;6—铀矿床
[例2]用某岩体中段48km2的1:1万γ普查资料作五阶多项式趋势面分析,如图6-27所示。
图中表明,趋势面的形态是由一个长轴由北东向逐渐转为北北东向的隆起,与该区一组含矿的新华夏系构造走向基本一致,反映了铀矿化的总体方向。分析已知铀矿床、矿点与趋势面的关系可看出,它们都在趋势值为40~50(7.17×1014C/kg·s)的半环带内,明确指出了找矿有利范围和找矿方向,反映出岩体过渡相是成矿的有利部位。
为了验证上述认识,在该带内H号构造带上的木岭地区进行1:2000的γ详查,并作了γ测量数据的五阶趋势面分析,如图6-28所示。图中反映出两个趋势隆起,北大南小,其中心位置的剩余值相对增高,北部隆起反映了地表矿体的存在,南部隆起及鞍部的下方100m左右的深处,探明了一个小型铀矿体。
[例3]用湾塘揭露点的γ场详测资料,做出1~8阶趋势图,如图6-29所示。
各阶趋势图表明,1阶趋势面是一个北东低,南西高的斜平面,随着阶次的增高,拟合度C逐渐增大,3~5阶有一个实变过程,在这个过程中趋势隆起,凹陷逐渐明显起来,逐步逼近γ场晕的实际变化趋势。5阶之后的6~8阶趋势面形态基本相同,拟合度C的增加也很小,这说明该区趋势面计算到5阶足够了。
图6-27 3102地区γ普查五阶趋势面图(单位:7.17×1014C/kg·s)
1—趋势等值线;2—铀矿床 (点);3—地质构造线
由于该区围岩都是中粒黑云母花岗岩,岩性引起的γ射线照射量率的变化甚小,所以推断隆起是铀矿化所致,与实际情况相符,是红桥铀矿床的北延部分。