只用圆规和无刻度的直尺把一条线段分成COS(180度/17):(1-COS(180度/17))两段?

Question

如题

Answer 1

这个题目不是太难，但需要你了解一点数学史——如何通过尺规作图将圆十七等分

1881年，天才的德国数学家高斯完成了这一高难度、2000多年以来都没人搞定的题目，具体作法如下：

步骤一：
给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，
作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。
步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，
再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

根据上面高斯的作法，我们可以得到圆的各17等分点

任取2个相邻的两个等分点，假设它们是M、N吧
很显然∠MON=360度/17

用尺规作图作出∠MON的角平分线OS交圆于S，(这个不难，分别以M、N为圆心，用同一半径作圆弧，这两个圆弧的交点与圆心O的连线就是∠MON的角平分线)，

很显然∠MOS=180度/17

过S点作ST⊥OM于T

很显然cos∠MOS=OT/OS=cos(180度/17)

以O为圆心，OT为半径作圆交OS于R

那么OR=OT，所以OR/OS=cos(180度/17)

所以OR=OS*cos(180度/17)

所以RS=OS-OR=OS[1-cos(180度/17)]

所以OR:RS=cos(180度/17):[1-cos(180度/17)]

所以R就是我们所要求的那个点！

参考资料：http://baike.soso.com/v8308811.htm

Answer 2

假设给定的线段是AB。在B画一个角度线BC,角度B=180度/17 。长度BC=AB。在C画一条线垂直于AB。和AB线相交于D.

BD/AB=BD/BC=cos(180度/17)
DA=AB-BD=AB-AB*cos (180度/17)=AB(1-cos (180度/17))
BD:DA= COS(180度/17):(1-COS(180度/17))

Answer 3

这个题的难点在于怎么画角180度/17，后面的都好做了，