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已知：如图： △ ABC中，∠ 1 = ∠ 2，
∠ 3=∠ 4，BF=CE。
求证：AB = AC
[B] 分析：比较两个线段的长短，只有三种情况。
如果AB 不等于 AC，那么只有两种情况 ，
要么AB ＞ AC，要么 AB < AC。
只要证明以上两钟假设不成立，就可以反证出只能是第三种答案即：
只能是AB = AC。（矛盾法中的排中律，否定之否定） [/B]
证明：做EH // BF，EH = BF，连结FH和HC，
形成 ∠ 5，∠ 6，∠7。有∠ 1 + ∠ 2 =∠ ABC，
∠ 3 + ∠ 4 = ∠ ACB，∠ 4 + ∠ 7 = ∠ ECH，
∠ 5 +∠ 6 =∠ EHC，
▽： 因在△ ECH 中 EH = EC = BF
△： 所以 ∠ 5 +∠ 6 = ∠ 4 + ∠ 7 （等腰三角形底角相等）
▽： BFHE 为平行四边形 ；∠ 1 = ∠ 6，HF =EB，
（一） 在△ABC中 假设 AB ＞ AC
则有∠ ABC < ∠ACB ， 则 ∠ 1 < ∠ 3，∠ 1 < ∠ 4
同时 ∠ 6 = ∠ 1，平行四边形对角相等
就有 ∠ 6 < ∠ 4 ▽ 上式 已证 ∠ 1 < ∠ 3，∠ 1 < ∠ 4
那么 ∠ 7 < ∠ 5 ▽ ：因为 等腰 △ ECH 中 EH = EC = BF
△：两等量底角 减去 大角 等于 小角
两等量底角 减去 小角 等于 大角
在△HEC中， FH < FC (在一个 △中,大角 对 大边,小角对小边)
那么， BE < FC （等量代替）（FH = BE）
在两个△BCE和 △BCF 中比较，
▽ ：因为两个量相等情况下（BC = CB，BF = CE）
△ ：由 BE < FC，可知 ∠ 2 ＞ ∠ 3 (第三边大 对 大角,第三边小 对小角)
△： 所以 ∠ABC ＞ ∠ACB （倍角等量关系）
△： 因此：AB < AC （大角对大边）
因此： 这个结果与假设条件即 ：在△ABC中 假设 AB ＞ AC命题自相矛盾，
因此 ：上述第(一)项假设条件,不能成立！
（二）在△ABC中第二种情况下 假设AB < AC，则有 ∠ B ＞ ∠ C
同理可证；得到：AB ＞ AC
此 这个结果与假设条件即 ：在△ABC中 假设 AC ＞ AB命题自相矛盾，
因此 上述第(二)项假设条件,亦不能成立！
因为AB不等于AC情况下，只有以上两种情况，但都不能成立，
所以只有唯一种情况才能够成立，
那就是AB = AC
△ 证明到此完毕
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延长△ABC的三条边BC，CA，AB至A’，B’,C’ 三点，使CA’/BC=AB’/CA=BC’/AB，求证: △ABC与△A’B’C’ 有公共重心。
证明: 设D,E分别是BC与C'A'的中点，AD与B'E交于G，连ED并延长交AB于F。
直线EDF截△A'BC'，由梅涅劳斯定理得:
(C'E/EA’)*(A'D/DB)*(BF/FC')=1
因为C'E=EA'，所以A’D/DB=C'F/BF
<==> (A'D-BD)/BD=(C'F-BF)/BF,
又因BD=CD，故A'C/BD=C'B/BF.
据己知条件: CA'/BC=BC'/AB，故BD/BC=BF/AB=1/2.
所以DF=CA/2,DF‖CA，DE=AB’/2,DE‖AB’.
由此可得:AG/GD==B’G/GE=2/1，
因此G是△ABC与△A’B’C’ 的公共重心。
证毕。
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已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z
证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.
过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.
根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
过D点做BC上的高交BC于O点.
过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.
则X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD
同理可证FP＝2DJ。
又因为FQ=FP,EM=EN.
FQ＝2DJ，EN＝2HD。
又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO＝FQ＋EN
又因为
FQ＝2DJ，EN＝2HD。所以DO＝HD＋JD。
因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
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在梯形ABCD中,AB//CD,AD垂直于AC,AD=AC,
DB=DC,AC,BD交于点E，求角BDC的大小.
作BG平行于AC交DC延长线于点G
所以BG=AC,角BGD等于角ACD等于45°
设AD=AC=1，则DC=BD=根号2
且BG=1
由正弦定理
BD边比上角BGD的正弦值等于BG边比上角BDG的正弦值
设角BDG=角a
即根号2 比上sin45°= 1 比上 sina
求得sina等于二分之一
所以角BDG等于30° .
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如图：
1 在△ABC中，D为BC的中点，DE垂直于DF，试判断BF+CF与EF的大小关系，并试图证明结论。
2 △ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90度,D为AC中点,联结BD作∠ADF=∠CDB,连CF交BD于E。求证BD垂直于CF
问题补充：图反了
第一题解法如下：
BE+CF>EF
延长ED，使DG=DE，连接CG、FG
易得三角形DEB全等于三角形GCD
所以BE=CG
因为DE=DG，DF=DF，角EFD=角FDG=90度
所以FG=EF
因为CF+DG>FG（两边之和大于第三边）
GF=BE，FG=EF
所以BE+CF>EF
第二题解法如下：
以点C为远点，CB为Y轴，CA为X轴建立平面直角坐标系。
假设CA=CB=6，可得D（3，0）；B（0，6）
--求得直线DB的解析式为f（DB）=-2x+6；
过点F作FG垂直AC，
由于∠DAF=45,所以AG=FG；又可从△DCB可以相似推出FG=2GD，
AD=3，故FG=2,GD=1,
所以F（4，2）；D（3，0）
--求得直线FD的解析式为f(FD)=x/2;
由于两条解析式的k值相乘等于-1，所以可以证明BD⊥CF。
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