三角函数和差角公式推导

Question

如题所述

Answer 1

由Euler公式：e^(iα)=cosα+isinαe^(iβ)=cosβ+isinβ上述两式相乘左边：[e^(iα)][e^(iβ)]=e^[i(α+β)]=cos(α+β)+isin(α+β)右边：(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(cosαsinβ+sinαcosβ)根据复数相等的性质，实部等于实部，虚部等于虚部；可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ再根据正弦函数余弦函数的奇偶性将β换成-β可得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

由上述公式，还可以得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβcos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβsin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ令θ=α+β，ψ=α-β；则α=(θ+ψ)/2，β=(θ-ψ)/2作替换可得cosθ+cosψ=2cos[(θ+ψ)/2]cos[(θ-ψ)/2]cosψ-cosθ=2sin[(θ+ψ)/2]sin[(θ-ψ)/2]sinθ+sinψ=2sin[(θ-ψ)/2]cos[(θ-ψ)/2]