高一数学必修二几何证明题

Question

（无图）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA,PB,PC
1证明：若PA=PB=PC， 则点O是△ABC的外心
2证明：若PA=PB=PC,角C=90°，则点O是AB边的中点
3证明：若PA⊥PB,PB⊥PC⊥PA，则点O是△ABC的垂心
（详情见人教版必修2 P67页 这题本身是填空题我们的逗比老师非要我们详细证明出来而且不能少步奏）PS:老师要求我们作的辅助线：连接CO延长至AB边于H点 连接PH 求大神老师给出详细证明步奏 谢谢！

Answer 1

证明：（1）∵PO⊥α，连接OA、OB、OC，则△POA，△POB，△POC都是直角三角形，又∵
PA=PB=PC，∴ △POA，△POB，△POC是全等三角形，∴OA=OB=OC，即点O是△ABC的外心。

（2）∵ PA=PB=PC，由（1）知点O是△ABC的外心，必有OA=OB=OC，∵C=90°，由直角三角形的性质可知，O为斜边的中点，即点O是AB边的中点。

（3）∵PB⊥PC⊥PA，∴ PA⊥平面PBC，BC在平面PBC，∴ PA⊥BC，∵PO⊥平面ABC，
∴ PO⊥BC，即BC⊥平面PAO，AO在平面PAO，∴AO⊥BC，同理可证BO⊥AC，∴点O是△ABC的垂心

Answer 2

作mp⊥ab，交点为p，连接pn
mp⊥ab，所以mp//a1a
所以
a1m/ab=ap/ab
即ap/ab=1/3

an/ac=1/3
∴ap/ab=
an/ac
∴pn//bc
mp⊥ab，∴mp//b1b
∴面mpn//面bb1c1c
∴mn//面bb1c1c

（2）面a1abb1与面abcd垂直
∴mp⊥面abcd
∴mp⊥pn
pn/bc=an/ac=1/3
∴pn=a/3
mp/a1a=bp/ba=2/3
∴mp=2a/3
根据勾股定理
mn=√5a/3

得数自己验证下
根据

Answer 3

过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA,PB,PC.
1.PA=PB=PC，∴OA=OB=OC, ∴点O是△ABC的外心.
2.PA=PB=PC,角C=90°，由1，点O是斜边AB的中点.
3.PA⊥PB,PC⊥PA，
∴PA⊥平面PBC,
∴PA⊥BC,
∴OA⊥BC,
同理OB⊥CA,
∴点O是△ABC的垂心.