《高等数学》求函数f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4在曲面xyz=1上的极值，并说出是最大值还是最小值的详细理由

Question

如题，希望有过程

Answer 1

构建拉格朗日函数 F = x^4+y^4+z^4+k(xyz-1), 则
F'<x> = 0: 4x^3+kyz = 0
F'<y> = 0: 4y^3+kxz = 0
F'<z> = 0: 4z^3+kxy = 0
F'<k> = 0: xyz = 1,
联立解得 x-y=z=1, f(1,1,1) = 3 是极值，是极小值。
因系唯一极值点，故是最小值。