一元三次方程怎么解？

Question

如题所述

Answer 1

一元三次方程是指具有以下形式的方程：
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
其中，a、b、c和d是已知的实数，且a ≠ 0。
要解这个一元三次方程，我们可以使用数学公式来求根，该公式称为卡丹公式（Cardano's Formula）。
首先，我们将方程转化为一个紧凑的形式，通过除以a来消去方程中的系数。方程变为：
x^3 + px^2 + qx + r = 0
其中，p = b/a，q = c/a，r = d/a。
然后，我们用一个新的变量y来替换x，通过关系式x = y - (p/3)。这样，方程变成了：
(y - (p/3))^3 + p(y - (p/3))^2 + q(y - (p/3)) + r = 0
化简后得到：
y^3 + (3p/3)y^2 + (3p^2/9 - 2p^3/27 + q/3)y + (2p^3/27 - pq/3 + r) = 0
为了简化计算，我们引入一个新的常数：
m = (3p^2 - 9q)/27
n = (2p^3 - 9pq + 27r)/27
方程进一步简化为：
y^3 + my + n = 0
现在，我们需要求解这个新方程。求解过程如下：
1. 首先，计算一个新的常量d = (n^2/4) + (m^3/27)。如果d > 0，则方程有一个实根和两个共轭复根。如果d = 0，则方程有三个实根，其中两个相等。如果d < 0，则方程有三个不相等的实根。
2. 如果d > 0，则令q = ((n/2) + sqrt(d))^(1/3)和r = ((n/2) - sqrt(d))^(1/3)。
3. 计算方程的三个根：
y1 = q + r - (p/3)
y2 = -(q + r)/2 - (p/3) + (i*sqrt(3)/2)(q - r)
y3 = -(q + r)/2 - (p/3) - (i*sqrt(3)/2)(q - r)
其中，i是虚数单位，sqrt表示求平方根。
4. 最后，通过计算x = y - (p/3)，我们可以得到方程的三个实根。
这就是一元三次方程的求根公式。下面，我将举一个例子来说明：
例子：解方程x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0
将方程转化为紧凑形式，得到：
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0
p = -3，q = 3，r = -1。
根据上述计算过程，我们得到：
m = (3p^2 - 9q)/27 = (3*(-3)^2 - 9*3)/27 = 0
n = (2p^3 - 9pq + 27r)/27 = (2*(-3)^3 - 9*(-3)*3 + 27*(-1))/27 = 0
因为d = (n^2/4) + (m^3/27) = 0，所以方程有三个实根，其中两个相等。
令q = ((n/2) + sqrt(d))^(1/3) = 0
r = ((n/2) - sqrt(d))^(1/3) = 0
根据公式，我们计算得到方程的三个根：
y1 = q + r - (p/3) = 0
y2 = -(q + r)/2 - (p/3) + (i*sqrt(3)/2)(q - r) = -(i*sqrt(3)/2)(q - r) = 0
y3 = -(q + r)/2 - (p/3) - (i*sqrt(3)/2)(q - r) = -(i*sqrt(3)/2)(q - r) = 0
最后，我们得到方程的三个实根：
x1 = y1 - (p/3) = -1
x2 = y2 - (p/3) = -1
x3 = y3 - (p/3) = -1
因此，方程x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0的三个根都是-1。