乘法公式有那些加法公式有那些

Question

如题所述

Answer 1

完全平方公式：，
平方差公式：，
立方和（差）公式：，
完全立方公式：，
三数和平方公式：，
欧拉公式：
2公式推导
编辑

①多项式平方公式:。
即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。
②二项式定理:，
，
，
…………
（a+b）
=a^n+Cn1*a^(n-1）*b+Cn2*a^(n-2）*b……2+……+Cn(n-1）*a*b^(n-1）+b^n.
注意观察右边展开式的项数，指数，系数，符号的规律，见杨辉三角。
杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
③由平方差，立方和（差）公式引申的公式
，
，
，
…………
注意观察左边第二个因式的项数，指数，系数，符号的规律。
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
⑴，
⑵，
类似地：
⑶。
变形及逆运算

由得；。
由得。
由公式的推广可知：当n为正整数时，能被a-b整除；
能被a+b整除；能被a+b及a-b整除。
乙 例题
例1.己知：x+y=a,xy=b。
63
求：①；②；③；④.
解：①;
②;
③;
④
=
=
=.
例2.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方.
证明：设这四个数分别为a,a+1,a+2,a+3. (a为整数）

=
=
=。
∵a是整数，整数的和，差，积，幂也是整数。∴是整数。
例3.求证：能被7整除。
证明：。
∵能被a+b整除，（见内容提要4）
∴能被 4+3整除。
∴能被7整除。
（扩展） 快速判断一个整数是否可以整除另一个整数
如x=2368，则x1=8，x2=6，x3=3，x4=2
则有如下公式：
x%m=(x1 +101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m
其中%表示求余数的符号
公式证明
依据余数的两个定理
（m+n)%k=(m%k+n%k)%k（结合率）
（m*n)%k=((m%k)*n)%k （交换率）
则 x%m
= (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1）%m
= (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m
= (x1%m+ （10%m*x2）%m + （102%m*x3）%m +（10n-1%m*xn)%m)%m
= (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m
所以公式得证
例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律。
解：∵。
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：
幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数的十位上数
字a乘以（a+1）的积。
例如：152=225，幂的百位上的数字2=1×2；
252=625,6=2×3；
352=1225,12=3×4；
……
1052=11025,110=10×11。
平方差公式

由多项式乘法得到，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
特征

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．
完全平方公式

由多项式乘法得到即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.推广形式：
特征

与都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．
②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．
③对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．
④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.
主要变式

⑴;
⑵;
⑶；
⑷
⑸
⑹
熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．
注意：
⑴公式中的a，b既可以表示单项式，也可以表示多项式.
⑵乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用.
⑶这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.
计算

⑴；⑵；⑶
分析：
相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.
第⑴题的相同项是2b，相反项是3a与－3a.
第⑵题可以按第⑴题的方法计算，也可以先改变第二个因式的符号再运算.
第⑶题虽然不能直接运用平方差公式计算，但认真观察两个二项式中的相同项和相反项，就不难分组转化成平方差公式的结构形式.
解：
⑴原式=
=
=
⑵原式=
=
=
⑶原式=
=
=
=
（4）原式=（8a+2b）（8a+2b）
=
=
2.
⑴98×102；⑵99×101×10001.
分析：
将98写成100－2，102写成100+2，第⑴题即能用平方差公式计算；同理将99写成100－1，101写成100+1，第⑵题也可用平方差公式计算：
解：
⑴98×102=（100－2）（100+2）
=10000－4=9996
⑵99×101×10001=（100－1）（100+1）×10001
=（10000－1）（10000+1）
=100000000－1=99999999
5961=（60-1）（60+1）=3600-1=3599