请问，球形的体积和表面积怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

体积公式:
用微积分中的二重积分可以计算球的体积，但是，你如果不会微积分也没关系，还有另外的方法。
用此方法的原理是祖堩原理，具体内容是：夹在两个平行平面的几何体，用
与这两个平面平行的平面去截它们，如果截得的截面的面积总是相等，
那么夹在这两个平面间的几何体的体积相等。
为了应用组堩原理，需要找到符合条件的图形；（设球半径为R,Pi表示圆周率,"x^y"表示x的y次方）
1、先将球分成两个半球，球出一个半球的体积就可求出球的体积；
2、在半球顶上作一个与半球地面平行的平面；
3、在这两个平面之间，构造一个圆柱体，使得它的高底面半径均等于球半径；
4、然后，在构造的圆柱体中去掉以该圆柱体的上底面为底面，以该圆柱体的高为高的圆锥体的那部分体积，则所剩的部分体积为2(Pi*R^3)/3,
5、用距离底面为h的平面去截这两个几何体，截得的半球的截面面积S1=Pi(R^2-h^2)；截得的被去掉一个同底等高圆柱体的面积为S2=Pi(R^2-h^2),于是，在这两个平面之间，用平行于这两个平面的第三个平面截得的这两个几何体的截面积总有S1＝S2；
根据祖堩原理，这两个几何体的体积相等，于是就有半球的体积V/2=2(Pi*R^3)/3；
因此，球体的体积公式为：V=4(Pi*R^3)/3
面积公式：S=4πR^2如果不知半径可以用两块板子和一个尺量

Answer 2

把一个半径为R的球的上半球切成n份
每份等高
并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径
则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h
4∏R^3)/3
至于如何证明，可以用微积分来证明。但是很早之前，我国著名的数学家祖冲之创造出了“牟合方盖”的球体体积求算思路，但最终未能完成，后由他的儿子祖暅沿着父亲的思路锲而不舍地迈进，终于攻下了这一难度极高的课题，得到了著名的等积原理“缘幂势既同，则积不容异”(两个几何体在任何等高处的截面积都相等，则两个几何体的体积也相等，即胖子理论)，并由此而求得了球体体积公式。具体证明过程清参看下面网址
参考资料：
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_01_4_01/page2.html
其中h=R/n
r(k)=根号[R^-(kh)^]
S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n
=2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^]
则
S(1)+S(2)+……+S(n)
当
n
取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πR^
乘以2就是整个球的表面积
4πR^