急求近世代数，素理想的证明

Question

在Z[x]中,(2,x)是极大理想,而(x)不是极大理想,但(x)是z[x]的素理想，而(x)不是极大理想，但(x)是Z[x]的素理想
证明：在Z[x]中,(2,x)是极大理想,而(x)不是极大理想,但(x)是z[x]的素理想。

Answer 1

这个显然啊
若理想I真包含(2,x)则I必含1，所以I=（1）=Z(x)，故(2,x)是极大理想
而2∉(x)且(x)包含于(2,x)≠Z(x)，所以(x)不是极大理想
若f(x)g(x)∈(x)，则存在h(x)有f(x)g(x)=xh(x),f,g,h∈Z(x)。由于Z(x)满足素性条件，x不可约所以x│f(x)或x│g(x)
即f(x)∈(x)或g(x)∈(x),这就证明了(x)是素理想