(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)这种直线系方程为什么可以表示过一定点的所有直线

Question

(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)这种直线系方程为什么可以表示过一定点的所有直线（除了 A2x+B2y+C2 外）？有点不理解，求详细证明

Answer 1

设直线L1为：A1x+B1y+C1=0,
L2为：A2x+B2y+C2=0,
设两线交点为（x0,y0）
则有：A1x0+B1y0+C1=0,A2x0+B2y0+C2=0,
即：A1x0+B1y0+C1+λ(A2x0+B2y0+C2)=0,
也可看作：（A1+λA2）x0+（B1+λB2）y0+C1+λC2=0,
即（A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0过交点（x0,y0）,
所以过直线L1：A1x＋B1y＋C1＝0与L2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为：
A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）不含L2