大一高数格林公式

Question

如题所述

Answer 1

1. dQ/dx = dP/dy 表明积分与路径无关，因此我们可以选择一条计算起来较为简单的路径进行积分。
2. 若选择直线 y = x 作为积分路径，则积分的计算如下：
∫[0 to 1] (x^2 - x) dx - ∫[0 to 1] (x + sin(x)) dx
= ∫[0 to 1] (x^2 - 2x - sin(x)) dx
= 1/3 - 1 - 1 + cos(1)
= -5/3 + cos(1)
3. 如果我们选择折线路径，第一条为 y = 0，0 < x < 1；第二条为 x = 1，0 < y < 1。
4. 对于第一条路径，dy = 0，积分结果为：
∫[0 to 1] (x^2 - 0) dx = 1/3
5. 对于第二条路径，dx = 0，积分结果为：
-∫[0 to 1] (1 + sin(y)) dy = -[1 - cos(1)]
= -1 + cos(1)
6. 将两条路径的积分结果相加，得到最终积分为：
-5/3 + cos(1) + (-1 + cos(1))
= -5/3 + cos(1) - 1 + cos(1)
= -5/3 - 1 + 2cos(1)
最终答案为 -5/3 - 1 + 2cos(1)。