一元二次方程永远有根吗

Question

我在数学教科书上看到的，在讲述一元二次方程求根公式时，注释说“当b^2-4ac＜0时方程无解”，可是如果在复数范围内是可以用虚数表示的。

我想问的是，教科书的说法是否有误？还是说，一元二次方程的根的取值范围必须是实数？根如果是虚数就是无根？

Answer 1

一元二次方程在复数范围内总有根。方程的根不一定为实根。

严谨地说，解方程时必须指明数系范围，是在复数范围内解方程，还是在实数范围内解方程，还是在有理数范围内解方程，是不一样的。

教科书上说的“当 b^2 - 4ac < 0 时方程无解”，仅是指在实数范围内的解不存在。这里教科书说法不是很严谨，由于还没有讲到复数，所以它就把复根的情况略去不提了。但你可以理解为教科书上的结论都是假设在实数范围内的，不必非得争论说它错了。

当然，如果我来写教材的这一部分，我至少会在书下加一个脚注，说明方程在复数范围内有根，或说明以上结论都在实数范围内讨论。

Answer 2

请问你的问题是高中时的，还是大学的。如果是高中的，到大学以后肯定就是对了，教科书无误。只是跟着你的知识面的广阔性，而发现原来的理论不太准确罢了。

Answer 3

教科书无误

虚数做解无意义，就像你那0做分母一样