求切向分量与法向分量

Question

假设有这样的一条曲线：
y = x^3 + x
知道曲线的加速度的竖直分量是常数2，速度的竖直分量是正数，求在点(1, 2)上的切向分量与法向分量

我试过将y和x都看成是参数t的函数：
y(t) = (x(t))^3 + x(t)
然后位置向量就是r(t) = <x(t), y(t)>，这样的话就知道y''(t) = 2。
之后又试过对那个等式两边求导数：
y'(t) = 3*(x(t))^2 * x'(t) + x'(t) = (3*(x(t))^2 + 1) * x'(t) <1>
y''(t) = 6*x(t)*x'(t) + (3*(x(t))^2 + 1) * x''(t) <2>
然后把那个点和y''(t) = 2代进去，得到了这样的关系
y'(t) = 4*x'(t)
x''(t) + 3*x'(t) = 1

然后就没辙了。。。这题应该不用微分方程解的，大家有什么方法吗？
谢谢

Answer 1

题目有些含糊:
1. 只有加速度的定量条件是不够的, 应该还有速度之类的初条件吧.
2. 竖直加速度是常数的话, 速度的竖直分量不可能一直是正数.
3. 求切向分量和法向分量是指加速度?

求解其实不难:
既然知道运动的竖直分量是匀加速, 竖直方向的运动方程就能写出来了.
又知道质点沿曲线运动, 代入曲线方程(理论上)就能解出水平运动方程了.

具体来说, 由y"(t) = 2, 积分两次得y(t) = t²+at+b (a,b需要由初条件确定).
而x(t)满足t²+at+b = x(t)³+x(t).
两边求导得2t+a = (3x(t)²+1)x'(t), 即x'(t) = (2t+a)/(3x(t)²+1).
再求导得x"(t) = 2/(3x(t)²+1)-6x'(t)(2t+a)/(3x(t)²+1)² = 2/(3x(t)²+1)-6(2t+a)²/(3x(t)²+1)³.

如果有适当的条件, 比如知道在(1,2)点处速度的竖直分量v,
有v = y'(t) = 2t+a, 故x"(t) = 2/(3x(t)²+1)-6v²/(3x(t)²+1)³ = 1/2-3v²/32 (x(t) = 1).
又已知y"(t) = 2, 在(1,2)点处的加速度也就确定了.
而切线方向是确定的, 要求切向, 法向分量都没问题.