在三角形abc中，∠acb=90°，∠abc=30°，将三角形abc绕定点c顺时针旋转,旋转角为o（0<O<180），得到△abc

Question

连接aa1、bb1，设三角形aca1和三角形bcb1的面积为s1、s2,求证s1s2：=1：3

Answer 1

因为△A1B1C是由△ABC以C为转轴旋转一个角度O后的位置，所以A1C=AC，B1C=BC，∠ACA1=∠BCB1，那么△ACA1∽△BCB1，相似比为AC/BC。
由已知△ABC中∠ACB=90°，∠ABC=30°，可知AC/BC=1/√3，因此两三角形的面积比
S1/S2=(AC/BC)²=（1/√3）²=1/3。

Answer 2

证明：在直角三角形ABC中，∠acb=90°，∠abc=30°，，设AC=k，则BC=(根号3)*k，s1=0.5*k*k*sino=0.5*(k^2)*sino,s2=0.5*(根号3)*k*(根号3)*k*sino=1.5*(k^2)*sino,所以s1:s2=1:3(注：三角形旋转一定角度后，∠a1ca=∠b1cb=∠o)

Answer 3

(1)、AB∥CB1，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，所以∠DCB1＝30°。在Rt△A1B1中，CD=DB1=A1D=A1C,所以△A1CD是等边三角形

(2)、S1=1/2AC*A1Csinα ，S2=1/2BC*B1Csinα ，BC =B1C=√3 AC =√3 A1C，所以S1:S2=1:3

（3）、因由题意可得，A1B1的中点为P是在以C点为圆心半径为a的圆上运动，连接CP，在△CEP中，CE+CP>EP，而CE=a/2、CP=a，所以只有当EP=CE+CP，即C、E、P在一条直线上时，此时EP=3a/2为最大值，此时旋转的角度是120°