高中立体几何：求证：三棱锥ABCD中，最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

Question

如题所述

Answer 1

不妨设AB为最长棱，由三角形ABC与ABD得到AC+BC>AB,AD+BD>AB
两式相加得到AC+AD+BC+BD>2AB
若不存在端点引出的两条棱大于AB，则必然有AC+AD<=AB，BC+BD<=AB；
两式相加得AC+AD+BC+BD<=2AB，矛盾，故原命题成立

Answer 2

证明：不防设这条最长的棱为AB
用反证法，如果AC+AD<=AB
BC+BD<=AB
上面两个式子相加：
AC+AD+BC+BD=(AC+BC)+(AD+BD)<=2AB
这是不可能的，因为AC+BC>AB,AD+BD>AB---------三角形的两边和大于第三边
所以最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱