1、令t=1/x,则x=1/t,代入得
f(t)=1/t^2+sint+1/t+1
所以f(x)=1/x^2+sint+1/x+1
2、f(x)'=3/(5-x)^2+2x/5,分别将x=0和x=2代入即可得结果
3、抛物线在点(2,5)的导数为切线的斜率,该切线也经过该点,所以由点斜式得直线方程表达式。y'=2x+1=5
设切线y=5x+b,5=5*2+b,b=-5, 从而得解析式:y=5x-5
4、令f(x)=x^5-5x+1,易知该曲线肯定经过点(0,1)和(1,-3),则只需证明f(x)在(0,1)上单调性即可。下面用导数证明。
f‘(x)=5x^4-5=5(x^2+1)(x^2-1),容易看出f'(x)在(0,1)区间内导数小于0,故单调递减。所以原函数在(0,1)上有且只有一个正的实根。
5、
f '(x)=3x^2+6x-24=0,解得x=2或x=-4,
分别代入 原函数得极值,
f(x)=x^3+3x^2-24x-20
f(2)=8+12-48-20=-40
f(-4)=-64+48+96-20=60
6、原式=1/2a*∫(1/x+a)-1/(x-a)dx=1/2a*∫(1/x+a)dx-1/2a*∫(1/x-a)dx
=1/2a*log(x+a)-1/2a*log(x-a)
7. 原式=2sinx-cosx+x^2-x+C
8.
d[(x)^(1/2)]=(1/2)*dx/[(x)^(1/2)]
原式=2∫(1,√2) (e^y)dy=2*[e^(√2)-e]
9. 原式=∫ (0,√(pi/3)) sin√x d√x
=-cos(√(pi/3))+cos(0)=-cos(√(pi/3))+1
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