在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标 ，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。
极坐标系到直角坐标系的转化：
x=ρcosθ
y=ρsinθ在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换 极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值
由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标
在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° (π/2 radians)；若 y 为负，则 θ = 270° (3π/2 radians).
极坐标的方程
用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ?α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
圆
方程为r(θ) = 1的圆。
在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2
该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。
直线
经过极点的射线由如下方程表示θ=φ
,其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。 这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为
r(θ)=r0sec(θ-φ)
玫瑰线
一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线。
极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：
r(θ)=a cos kθ
r(θ)=a sin kθ
OR如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。
阿基米德螺线
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线。
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r(θ)=a+bθ
.改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。
圆锥曲线
椭圆，展示了半正焦弦
圆锥曲线方程如下：r=L/(1-e cosθ)
其中l表示半正焦弦，e表示离心率。 如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。
其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。
其他曲线
由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（笛卡尔形式）简单得多。比如lemniscates, en:lima?ons, anden:cardioids。 球坐标是一种三维坐标。分别有原点、方位角、仰角、距离构成。
设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段在坐标平面xoy的投影所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为
r∈[0,+∞),
φ∈[0, 2π],
θ∈[0, π] .
当r,θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：
r = 常数，即以原点为心的球面；
θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；
φ= 常数，即过z轴的半平面。
与直角坐标系的转换:
1).球坐标系(r,θ，φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
2).反之，直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ，φ)的转换关系为:
r= sqrt(x*2 + y*2 + z*2);
φ= arctan(y/x);
θ= arccos(z/r);
球坐标系下的微分关系：
在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：
dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ， dl(φ)=rsinθdφ
球坐标的面元面积是：
dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ
体积元的体积为：
dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ
球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用.在测量实践中，球坐标中的θ角称为被测点P（r，θ，φ）的方位角，90°－θ成为高低角 柱坐标系中的三个坐标变量是 r、φ、z。与直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z变量。
各变量的变化范围是：
r∈[0,+∞),
φ∈[0, 2π],
z∈R
其中
x=rcosφ
y=rsinφ
z=z
