详细些的一元三次方程解法

如题所述

任意实系数三次方程的古典解法:
对于ax³+bx²+cx+d=0(a≠0),先做代换:x=y-[b/(3a)],方程可转换为:
y³+py+q=0
其中p=c-(b²/3a),q=d-[(2b³+9abc)/27a²]
令y=m+n,且M=m³,N=n³,代入上述方程得到:
(m+n)³+p(m+n)+q=0
(m+n)(p+3mn)+(q+m³+n³)=0
若满足m³+n³=-q且mn=-p/3则上式成立,即:
M+N=-q和MN=(-p/3)³=-p³/27
根据韦达定理,显然M和N就是如下一元二次方程的根:
z²+qz-(p³/27)=0
z1,2={-q±√[q²+4(p³/27)]}/2=(-q/2)±√[(q/2)²+(p/3)³]
显然判别式为:Δ=(q/2)²+(p/3)³
根据Δ的符号可以计算出M和N,进而得到三个y值,最后变换到x的值。(注意M和N要按复数开方法则求出m和n,每个m或n对应三个复数根,m+n组合成三个y值,特别注意要选择mn=-p/3的值来组合!)
当Δ>0,M和N为相异实根,y为一实根和两共轭复根;
当Δ=0,M和N为相等实根,y为一实根和两个等实根;
当Δ<0,M和N为共轭复根,y为三个相异实根。【这里要用虚数才能算出实根,历史上应用虚数就是从这里引入的,而不是吃饱了撑的去解x²=-1】
最后反变换x=y-[b/(3a)]得到最终x的解。
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参考资料:可百度“卡尔丹公式”或“卡尔丹方法”
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第1个回答  2020-12-01