23、如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC是直角三角形，角ACB等于90°，顶点A,B.C均在坐

Question

23、如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC是直角三角形，角ACB等于90°，顶点A,B.C均在坐表轴上，且A的坐标为(1，0)，tan角ABC等于二分之一。 (1)写出点B,C的坐标。 (2)求过A,B,C三点的抛物线的解析式。 (3)已知点M在直线AC上，在平面内是否存在点N，使O.C.M.N为顶点的四边形是棱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵tan∠ABC=1/2，AC⊥BC，∴AC：BC=1：2，∠CBA+∠CAB=90°
又∵X轴⊥Y轴，所以OC⊥AB，所以∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠CBA
∴tan∠ACO= OC/OA = 1/2
又∵点A坐标为（1,0）
∴点C的坐标为（0,2）
∴AC=√(OA²+OC²)=√5，AB=√（AC²+BC²）=5
∴OB=AB-OA=4
∴点B的坐标为（-4,0）

（2）设抛物线y=a（x+4）（x-1）过点（0，2），解得a=-1/2
∴y=-1/2（x+4）（x-1）
（3）答：存在。
情况一：当M在AC中点时，OM=CM，点M（1/2，1）关于y轴的对称点N(-1/2，1)，使得四边形OMCN是菱形；
情况二：点M在AC上位于第四象限，并且OC=OM时，点O关于AC的对称点N，使得四边形OMCN为菱形，此时点M的坐标为（8/5，4/5）
情况三：点M在AC上位于第二象限，并且OC=OM时，点O关于AC的对称点N，使得四边形OCMN为菱形，此时点M的坐标为（-2√5 / 5，4√5 / 5 + 2）

Answer 2

（1）∵tan∠ABC=1/2，AC⊥BC，∴AC：BC=1：2，∠CBA+∠CAB=90°
又∵X轴⊥Y轴，所以OC⊥AB，所以∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠CBA
∴tan∠ACO= OC/OA = 1/2
又∵点A坐标为（1,0）
∴点C的坐标为（0,2）
∴AC=√(OA²+OC²)=√5，AB=√（AC²+BC²）=5
∴OB=AB-OA=4
∴点B的坐标为（-4,0）

（2）设抛物线y=a（x+4）（x-1）过点（0，2），解得a=-1/2
∴y=-1/2（x+4）（x-1）

Answer 3

啥？写这种题目是在折腾自己

Answer 4

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