本小题满分14分) 如图,已知三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,设AB、PB、PC的中点分别为D、E、F,若过D、E

本小题满分14分) 如图,已知三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,设AB、PB、PC的中点分别为D、E、F,若过D、E、F的平面与AC交于点G.(Ⅰ)求证点G是线段AC的中点;(Ⅱ)判断四边形DEFG的形状,并加以证明;(Ⅲ)若PA=8,AB=8,BC=6,AC=10,求几何体BC-DEFG的体积.

DEFG为矩形,

解:(Ⅰ)∵ED∥PA,则PA∥平面DEFG,而PA 平面APC,
平面DEFG 平面APC=FG,∴PA∥FG,
又F为PC的中点,因此G为AC的中点;……………………4分 
(Ⅱ)∵点E、D分别AB、PB中点,则∴ED∥PA,且ED PA,
同理FG∥PA,且FG PA,∴ED∥FG,且ED=FG,
∴DEFG为平行四边形,由于PA⊥平面ABC,而 ED∥PA,
∴ED⊥平面ABC,∴ED⊥DG,因此DEFG为矩形.………………9分 
(Ⅲ)取PA的中点K,连结KE、KF,则多面体PA—DEFG分成
三棱锥P—KEF和三棱柱KEF—ADG,则多面体PA—DEFG的体积为
多面体BC—DEFG的体积为 = ;………………… 14分
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