小o和大o之间有什么联系和区别？

Question

如题所述

Answer 1

小o是高阶无穷小，大O则是有界量而不是同阶量，先要把定义搞清楚。

具体一点讲，如果给定某个变化趋势x->a，
1.若lim f(x)/g(x)=0，那么记f(x) = o(g(x))；
2.若存在M>0使得|f(x)/g(x)|<=M(只要求在a的某个去心邻域内)，或者说lim sup|f(x)/g(x)|<+oo，那么f(x)=O(g(x))。
还有一些类似的记号，比如
3.若|f(x)/g(x)|>=M>0，那么记f(x)=Ω(g(x))
4.若0<=m<|f(x)/g(x)|<=M，那么记f(x)=Θ(g(x))，这个才是同阶量
5.若lim f(x)/g(x)=1，那么记f(x)～g(x)，即等价量

一般来讲小o记号只对无穷小量使用，大O记号则既用于无穷小量的比较也用于无穷大量的比较。另外要注意变化趋势(比如x->a)只有在不引起误解的情况下才能省略，不要漏掉。

至于运算规则，没必要去归纳总结，碰到具体情况具体分析，如果碰到具体问题不会解决则说明学得很糟糕，这样即使背一些规则也没用。
比如说，o(u)+o(v)=o(|u|+|v|)，o(u)o(v)=o(uv)，这些只是对定义的一层封装，基本没什么价值，如果碰到x->0时的o(x)+o(x^2)，要知道结果是o(x)，而不是很教条地写成o(|x|+|x|^2)。

至于小o和大O之间的转化，从定义出发可以直接得到o(u)=O(u)，但是反过来没有什么万能的结论。在一定的条件下，x->0时o(x^k)可以化到O(x^{k+1})，比如k+1阶可微函数的n阶Maclaurin展开的余项就有这两种形式。不过一般是不成立的，比如x->0时x/lnx=o(x)，但是不能化到o(x^2)。