一阶线性微分方程的通解:y'+p(x)y=g(x)。
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性,指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法,该方法是由法国著名数学家Lagrange发现的。
通过常数变易法,可求出一阶线性微分方程的通解:先求解一阶线性非齐次微分方程所对应的齐次方程,将所得通解中的常数变为一个未知函数。为了求出这个未知函数,将该含有未知函数的解代入原方程解出这个未知函数,从而得到原方程的通解。
微分方程,是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。
微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
来源及发展
微分方程研究的来源:它的研究来源极广,历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时,指出了它们的互逆性,事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时,微分方程就大量地涌现出来。
牛顿本人已经解决了二体问题:在太阳引力作用下,一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点,得到3个未知函数的3个二阶方程组,经简单计算证明,可化为平面问题,即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法,完全解决了它的求解问题。
通解为: e^(-∫P(x)dⅹ)(∫Q(x)·e^(∫P(x)dx)dx+C),其中e为自然常数,P(x)、Q(x)是方程y′+P(x)y=Q(x)中的已知函数,C为任意常数。
想要推导出一阶线性微分方程的通解,可以引用函数u(x),使得u(x)y′+P(x)u(x)y=[u(x)y]′=Q(x)u(x),即u(x)满足的关系式为u′(x)=P(x)u(x),将u′(x)换成d(u(x))/dx后,将dx移到等式的右边,u(x)移到等式的左边,等式变为d(u(x))/u(ⅹ)=P(x)dx,两边积分可得: ln(u(x))=∫P(x)dx+C,又可变为e^(ln(u(x))=e^(∫P(x)dx)(C的值取0),也就解得u(x)=e^(∫P(x)dx)。 将u(x)的值代入微分方程: [u(ⅹ)y]′=Q(ⅹ)u(x),两边积分就可得到:u(x)y=∫Q(x)u(x)dx+C,再把u(x)移到右边,就可得到微分方程的通解:y=(u(x)^-1)(∫Q(x)u(ⅹ)dⅹ+C),整理一下就可以得到上述通解。