一阶线性微分方程的通解：y'+p(x)y=g(x)。
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，该方法是由法国著名数学家Lagrange发现的。
通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解：先求解一阶线性非齐次微分方程所对应的齐次方程，将所得通解中的常数变为一个未知函数。为了求出这个未知函数，将该含有未知函数的解代入原方程解出这个未知函数，从而得到原方程的通解。
微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。
微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
来源及发展
微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
通解为: e^(-∫P(x)dⅹ)(∫Q(x)·e^(∫P(x)dx)dx+C)，其中e为自然常数，P(x)、Q(x)是方程y′+P(x)y=Q(x)中的已知函数，C为任意常数。
想要推导出一阶线性微分方程的通解，可以引用函数u(x)，使得u(x)y′+P(x)u(x)y=[u(x)y]′=Q(x)u(x)，即u(x)满足的关系式为u′(x)=P(x)u(x)，将u′(x)换成d(u(x))/dx后，将dx移到等式的右边，u(x)移到等式的左边，等式变为d(u(x))/u(ⅹ)=P(x)dx，两边积分可得: ln(u(x))=∫P(x)dx+C，又可变为e^(ln(u(x))=e^(∫P(x)dx)(C的值取0)，也就解得u(x)=e^(∫P(x)dx)。 将u(x)的值代入微分方程: [u(ⅹ)y]′=Q(ⅹ)u(x)，两边积分就可得到:u(x)y=∫Q(x)u(x)dx+C，再把u(x)移到右边，就可得到微分方程的通解:y=(u(x)^-1)(∫Q(x)u(ⅹ)dⅹ+C)，整理一下就可以得到上述通解。