如图,△ABC是等边三角形,O是∠B、∠C两角平分线的交点,EO⊥BO,FO⊥CO,求证:△AEF的周长等于BC的长。

Question

如题。
好的追加悬赏，就这两天之内给我答复。

Answer 1

设OE=a，因为△ABC是等边三角形，且OB，OC平分∠ABC、∠ACB，所以BE=CF=2a，
由勾股定理得：OB=
3
a，又因为EO⊥BO，FO⊥CO，所以∠EOF=60°，
所以△EOF为等边三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF=a，所以EF=OE=a，BC=3a，AE+AF+EF=AB-BE+AC-CF+EF=3a-2a+3a-2a+a=3a=BC．
即△AEF的周长等于BC的长．

Answer 2

△AEF的周长与BC 的长相等
证明：延长BO交AC于G，延长CO交AB于H，连接OA
　　∵△ABC是等边三角形
　　∴OA平分∠BAC
　　∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°
　　∵OA，OB，OC平分∠BAC，∠ABC，∠ACB
　　∴OA，OB，OC垂直平分BC，AC，AB
　　∴∠OAE=∠OAF=∠OBE=∠OBC=∠OCF=∠OCB=30°
　　∴∠BOC=120°
　　∴∠HOB=∠GOC=60°
　　∵OE⊥OB，OF⊥OC
　　∴∠EOH=∠FOG=30°
　　∴∠EOA=∠FOA=30°
　　设EH=FG=a
　　在Rt△EOH与Rt△FOG中
　　∴∠EOH=∠FOG=30°
　　∴EO=FO=2a
　　∴AH=AG=3a
　　∴BC=AB=2AH=6a
　　在等腰△AEO与等腰△AFO中
　　AE=EO=FO=AF=2a
　　∵∠ABC=60°
　　∴△AEF为等边三角形
　　∴EF=AE=AF=2a
　　∴△AEF的周长=EF+AE+AF=6a
　　∴△AEF的周长与BC 的长相等本回答被网友采纳

Answer 3

因为厶ABC是等边三角形
所以LABc=LACB=60
因为0B
oC是角平分线
所以L0BC=L0cB=30
所以LBoC=120
因为Eo丄Bo
所以LEoC=30
同理LBoF=30
所以LE0F=60
因为LoEF=LoFE=60
所以厶oEF是等边三角形
所以oE=oF=EF
因为L0BF=LB0F=30
所以BF=oF
同理OE=EC
所以oF+FE+OE=BF+FE+Ec=BC

Answer 4

图呢？