高中立体几何证明

Question

如题所述

Answer 1

（2）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=π/3，⊿PAD为等边三角形，∠APD平分线交AD于Q，
∴PQ⊥AD，Q为AD中点，⊿ABD为等边三角形
∴BQ⊥AD，
∵PQ⊥QB，∴PQ⊥底面ABCD==>面PAD⊥底面ABCD，
∴QB⊥面PAD
（1）证明：建立以Q为原点，以QB方向为X轴，以QA方向为Y轴，以QP方向这Z轴正方向的空间直角坐标系Q-xyz
设AD=2
则点坐标：Q(0,0,0)，A(0,1,0)，B(√3,0,0)，C(√3,-2,0)，D(0,-1,0)，P(0,0, √3)，
∵M为PC上一点，且PM/PC=1/3==>CM/MP=2
(√3+2*0)/(1+2)=√3/3，(-2+2*0)/3=-2/3，(0+2*√3)/3=2√3/3
∴M(√3/3, -2/3,2√3/3)
向量QM=(√3/3, -2/3,2√3/3)，向量QB=(√3,0,0)
设向量m=(x,y,z)是面QMB的一个法向量
向量QM*向量m=√3/3x -2/3y+2√3/3z=0
向量QB*向量m=√3x=0
令y=3/2，则x=0，z=√3/2
∴向量m=(0, 3/2,√3/2)
向量PA=(0,1,-√3)
向量PA*向量m=3/2-3/2=0==>向量PA⊥向量m
∴PA//面MQB
（3）解析：向量QP=(0,0, √3)是面ABCD的一个法向量
向量m=(0, 3/2, √3/2)是面QMB的一个法向量
向量QP*向量m=3/2
Cos<向量QP,向量m >=向量QP*向量m/|向量QP|*|向量m|=(3/2)/(√3*√3)=1/2
∴二面角M-BQ-C的大小为π/3追问

第一问M点坐标怎么求没看明白

M点在y轴上分量为什么是-2/3不是-1/3

追答

定比分点坐标，设C(x1,y1,z1)，P(x2,y2,z2)，λ=CM/MP=2

M(x,y,z)
x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)，z=(z1+λz2)/(1+λ)

2的1/3就是2/3