两个正态分布随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是什么?

Question

如题所述

Answer 1

由题目中可以看到：X与Y的相关系数ρ=0（括号内第五项表示ρ）
而对于二维正态分布有一种重要的结论就是：
两个正态分布随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是它们的相关系数ρ=0
所以可知：这个题目中的X与Y是相互独立的，并且X，Y都分别服从一维正态分布
有：f(x,y)=1/(2πσ1σ2)*e^{-[((x-μ1)/σ1)^2+((y-μ2)/σ2)^2]/2}
f(x)=1/(√(2π)σ1)*e^{-[(x-μ1)/σ1]^2/2}
f(y)=1/(√(2π)σ2)*e^{-[(x-μ2)/σ2]^2/2}
X~N(μ1，σ1^2)
Y~N(μ2，σ2^2)
那么：X+Y~N(μ1+μ2，σ1^2+σ2^2)
X-Y~N(μ1-μ2，σ1^2+σ2^2)
E(X+Y)=μ1+μ2
E(X-Y)=μ1-μ2
E(X)=μ1 DX=σ1^2
E(Y)=μ2 DY=σ2^2
EX^2=DX+(EX)^2=σ1^2+μ1^2
EY^2=DY+(EY)^2=σ2^2+μ2^2
COV(X+Y，X-Y)=E(X+Y)E(X-Y)-E[(X+Y)(X-Y)]=0
ρ‘=COV(X+Y，X-Y)/√(DXDY)=0
再利用这个性质：两个正态分布随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是它们的相关系数ρ=0
即：X+Y与X-Y独立
做了半个多小时，感觉回到了2年前的考研时代......
另外我再补充一下吧：这个题目其实就是要求四个选项的协方差，哪个为0就是相互独立的~