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证明:取AD中点F,连接EF,
∵△ABC是等腰直角三角形,点M、N分别是边AC和BC的中点,
∴BC=AC,AC=2CM,BC=2CN,
∴CM=CN,
在△BCM和△ACN中,
,
∴△BCM≌△ACN(SAS),
∴AN=BM,∠CBM=∠CAN,
∵NE=2AN,
∴AE=AN,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠C=90°,∠ADM=∠CBM=∠NAC,
在△EAF和△ANC中,
,
∴△EAF≌△ANC(SAS),
∴∠NAC=∠AEF,∠C=∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DFE=90°,
∵F为AD中点,
∴AF=DF,
在△AFE和△DFE中,
,
∴△AFE≌△DFE(SAS),
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC,
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°,
∴BD⊥DE.