在数列{a n }中,若a n 2 -a n-1 2 =p(n≥2,n∈N × ,p为常数),则称{a n }为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的判断;①若{a n }是等方差数列,则{a n 2 }是等差数列;②{(-1) n }是等方差数列;③若{a n }是等方差数列,则{a kn }(k∈N * ,k为常数)也是等方差数列;④若{a n }既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列.其中正确命题序号为______.(将所有正确的命题序号填在横线上)
①因为{a n }是等方差数列,所以a n 2 -a n-1 2 =p(n≥2,n∈N × ,p为常数)成立, 得到{a n 2 }为首项是a 1 2 ,公差为p的等差数列; ②因为a n 2 -a n-1 2 =(-1) 2n -(-1) 2n-1 =1-(-1)=2,所以数列{(-1) n }是等方差数列; ③数列{a n }中的项列举出来是:a 1 ,a 2 ,…,a k ,a k+1 ,a k+2 ,…,a 2k ,…,a 3k ,… 数列{a kn }中的项列举出来是:a k ,a 2k ,a 3k ,… 因为a k+1 2 -a k 2 =a k+2 2 -a k+1 2 =a k+3 2 -a k+2 2 =…=a 2k 2 -a k 2 =p 所以(a k+1 2 -a k 2 )+(a k+2 2 -a k+1 2 )+(a k+3 2 -a k+2 2 )+…+(a 2k 2 -a 2k-1 2 )=a 2k 2 -a k 2 =kp, 类似地有a kn 2 -a kn-1 2 =a kn-1 2 -a kn-2 2 =…=a kn+3 2 -a kn+2 2 =a kn+2 2 -a kn+1 2 =a kn+1 2 -a kn 2 =p 同上连加可得a kn+1 2 -a kn 2 =kp,所以,数列{a kn }是等方差数列; ④{a n }既是等方差数列,又是等差数列,所以a n 2 -a n-1 2 =p,且a n -a n-1 =d(d≠0),所以a n +a n-1 =
所以{a n }为常数列,当d=0时,显然{a n }为常数列,所以该数列为常数列. 综上,正确答案的序号为:①②③④ 故答案为:①②③④ |