如图，点E为AB上一点，以AE、BE为边在AB同侧作等边△AED和等边△BEC，点P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA

Question

如图，点E为AB上一点，以AE、BE为边在AB同侧作等边△AED和等边△BEC，点P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）判断四边形PNMQ的形状，并证明；（2）求∠NPQ的度数。

Answer 1

(1)四边形PNMQ是菱形
证明：连接AC ,BD
因为三角形AED是等边三角形
所以AE=DE
角AED=60度
因为三角形BEC是等边三角形
所以CE=BE
角BEC=60度
因为角AEC=角AED+角DEC=60+角DEC
角DEB=角DEC+角BEC=60+角DEC
所以角AEC=角DEB
所以三角形AEC和三角形DEB全等（SAS）
所以角CAE=角BDE
AC=DB
因为点P ,Q ,M ,N分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点
所以PN ,PQ ,MQ分别是三角形ABD ,三角形ABC ，三角形BCD的中位线
所以PN=1/2BD
PN平行BD
PQ=1/2AC
PQ平行AC
MQ=1/2BD
MQ平行BD
所以PN=MQ=PQ
PN平行MQ
所以四边形PNMQ是平行四边形
因为PN=PQ（已证）
所以四边形PNMQ是菱形
（2）解：因为PN平行BD（已证）
所以角APN=角DBE
因为PQ平行AC（已证）
所以角CAE=角BPQ
因为角AED=角BDE+角DBE=60度（三角形外角和定理）
角CAE=角BDE（已证）
所以角CAE+角DBE=60度
所以角APN+角BPQ=60度
因为角APN+角BPQ+角NPQ=180度
所以角NPQ=120度